10.下列命题中正确的是( )A. 若f(x)和g(x)是无穷大量,则f(x)+g(x)是无穷大量.B. 若f(x)g(x)是无穷大量,则f(x)和g(x)中至少有一个是无穷大量.C. 若f(x)是无穷小量,则(1)/(f(x))为无穷大量.D. 若f(x)g(x)是无穷大量,则f(x)和g(x)中至少有一个是无界变量.

本题主要考查无穷大量、无穷小量以及无界变量的概念和性质，解题思路是根据这些概念对每个选项逐一进行分析判断。

• 选项A：
  • 要判断“若$f(x)$和$g(x)$是无穷大量，则$f(x)+g(x)$是无穷大量”是否正确，可通过举反例来验证。
  • 设$f(x) = x$，$g(x) = -x$，当$x \to \infty$时，$f(x)$和$g(x)$都是无穷大量。
  • 计算$f(x)+g(x)$的值为：$f(x)+g(x)=x + (-x)=0$。
  • 因为$0$不是无穷大量，所以该选项错误。
• 选项B：
  • 采用反证法来证明“若$f(x)g(x)$是无穷大量，则$f(x)$和$g(x)$中至少有一个是无穷大量”。
  • 假设$f(x)$和$g(x)$都不是无穷大量，即$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = A$（$A$为有限值），$\lim\limits_{x \to x_0} g(x) = B$（$B$为有限值）。
  • 根据极限的乘法法则，$\lim\limits_{x \to x_0} [f(x)g(x)] = \lim\limits_{x \to x_0} f(x) \cdot \lim\limits_{x \to x_0} g(x) = AB$，$AB$为有限值，这与$f(x)g(x)$是无穷大量矛盾。
  • 所以假设不成立，即$f(x)$和$g(x)$中至少有一个是无穷大量，该选项正确。
• 选项C：
  • 同样通过举反例来判断“若$f(x)$是无穷小量，则$\frac{1}{f(x)}$为无穷大量”的正确性。
  • 情况一：若$f(x) = 0$（恒为零），此时$\frac{1}{f(x)}$无意义。
  • 情况二：设$f(x) = x \sin \frac{1}{x}$，当$x \to 0$时，$\lim\limits_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0$，$f(x)$是无穷小量。
  • 而$\frac{1}{f(x)} = \frac{1}{x \sin \frac{1}{x}}$，当$x \to 0$时，$\frac{1}{f(x)}$无界但不是无穷大量。
  • 所以该选项错误。
• 选项D：
  • 还是用反证法证明“若$f(x)g(x)$是无穷大量，则$f(x)$和$g(x)$中至少有一个是无界变量”。
  • 假设$f(x)$和$g(x)$都是有界变量，即存在正数$M_1$和$M_2$，使得$\vert f(x) \vert \leq M_1$，$\vert g(x) \vert \leq M_2$。
  • 那么$\vert f(x)g(x) \vert = \vert f(x) \vert \cdot \vert g(x) \vert \leq M_1M_2$，即$f(x)g(x)$是有界变量，这与$f(x)g(x)$是无穷大量矛盾。
  • 所以假设不成立，即$f(x)$和$g(x)$中至少有一个是无界变量，该选项正确。