甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在同昼夜内到达的时刻是等可能的，如果甲船的停泊时间是 1 , (h)，乙船的停泊时间是 2 , (h)，求它们中的任何一艘都不需要等候码头空出的概率。

我们来逐步分析并解决这个概率问题。

题目理解：

• 甲、乙两艘轮船在同一昼夜（24小时）内随机地到达一个码头。
• 码头只能停泊一艘船，不能同时停泊两艘。
• 甲船停泊时间为 1 小时，乙船停泊时间为 2 小时。
• 两船到达的时刻是等可能的，即在 24 小时（0 到 24）内独立且均匀分布。
• 问：它们中的任何一艘都不需要等候码头空出的概率是多少？

换句话说：两船的停泊时间不发生重叠的概率是多少？

解题思路：

这是一个几何概率问题。我们用坐标系中的点来表示两船到达的时刻。

设：

• 甲船到达时刻为 $ x $（单位：小时），$ x \in [0, 24] $
• 乙船到达时刻为 $ y $，$ y \in [0, 24] $

由于两船到达时间是独立且在 [0,24] 上均匀分布的，我们可以用单位正方形（实际上是 24×24 的正方形）上的点 $ (x, y) $ 表示所有可能的到达情况。

我们要计算的是：两船停泊时间不重叠的概率。

停泊时间不重叠的条件：

• 甲船占用时间区间：$ [x, x+1] $
• 乙船占用时间区间：$ [y, y+2] $

两船不需要等待，意味着它们的停泊时间不重叠。

即两个区间 无交集：

$[x, x+1] \cap [y, y+2] = \emptyset$

这等价于：

• 要么甲船在乙船之前离开，即：$ x+1 \leq y $
• 要么乙船在甲船之前离开，即：$ y+2 \leq x $

所以，不重叠的条件是：

$x + 1 \leq y \quad \text{或} \quad y + 2 \leq x$

几何概率模型：

在 $ xy $-平面上，考虑正方形区域 $ [0,24] \times [0,24] $，总面积为：

$S_{\text{total}} = 24 \times 24 = 576$

我们要求满足 $ x+1 \leq y $ 或 $ y+2 \leq x $ 的区域面积，记为 $ S_{\text{no overlap}} $，然后概率为：

$P = \frac{S_{\text{no overlap}}}{576}$

我们分别计算这两个区域的面积。

1. 区域 A：$ x + 1 \leq y $，即 $ y \geq x + 1 $

这是在直线 $ y = x + 1 $ 上方的区域，且在正方形 $ [0,24]^2 $ 内。

这条直线从点 $ (0,1) $ 到 $ (23,24) $，然后在 $ x > 23 $ 时，$ y = x+1 > 24 $，超出范围。

所以，这个区域是一个梯形或可以看作正方形减去下方三角形。

更简单的方法：计算 $ y \geq x + 1 $ 在正方形内的面积。

这个区域是正方形中位于直线 $ y = x + 1 $ 上方的部分。

类似地，我们可以计算其面积：

• 在 $ x \in [0, 23] $ 时，$ y $ 从 $ x+1 $ 到 24，长度为 $ 24 - (x+1) = 23 - x $
• 在 $ x \in [23, 24] $ 时，$ x+1 \geq 24 $，所以 $ y \geq x+1 $ 要求 $ y \geq >24 $，不可能，面积为 0

所以面积为：

$A_1 = \int_0^{23} (24 - (x+1)) \, dx = \int_0^{23} (23 - x) \, dx = \left[23x - \frac{x^2}{2}\right]_0^{23} = 23 \times 23 - \frac{23^2}{2} = 529 - \frac{529}{2} = \frac{529}{2} = 264.5$

2. 区域 B：$ y + 2 \leq x $，即 $ x \geq y + 2 $

这是在直线 $ x = y + 2 $ 右侧的区域。

类似地，$ x \geq y + 2 $，即 $ y \leq x - 2 $

• 当 $ x \in [2, 24] $ 时，$ y $ 从 0 到 $ x - 2 $，长度为 $ x - 2 $
• 当 $ x \in [0, 2) $ 时，$ x - 2 < 0 $，$ y \leq x - 2 $ 不可能（因为 $ y \geq 0 $），面积为 0

所以面积为：

$A_2 = \int_2^{24} (x - 2) \, dx = \left[\frac{(x-2)^2}{2}\right]_2^{24} = \frac{(24-2)^2}{2} - 0 = \frac{22^2}{2} = \frac{484}{2} = 242$

总不重叠区域面积：

$S_{\text{no overlap}} = A_1 + A_2 = 264.5 + 242 = 506.5$

注意：这两个区域没有重叠，因为不可能同时满足 $ y \geq x+1 $ 和 $ x \geq y+2 $，否则：

$ x \geq y+2 \geq (x+1)+2 = x+3 $，即 $ x \geq x+3 $，矛盾。

所以两个区域互斥，可以直接相加。

概率计算：

$P = \frac{506.5}{576}$

化为分数：

$ 506.5 = \frac{1013}{2} $，所以

$P = \frac{1013/2}{576} = \frac{1013}{1152}$

我们也可以写成小数近似：

$\frac{1013}{1152} \approx 0.8793$

最终答案：

$\boxed{\frac{1013}{1152}}$

即，两艘船都不需要等候码头空出的概率为 $ \boxed{\dfrac{1013}{1152}} $。

总结：

• 使用几何概率模型，将两船到达时间表示为平面上的点。
• 停泊时间不重叠的条件转化为区域 $ y \geq x+1 $ 或 $ x \geq y+2 $。
• 计算这两个区域的面积并求和，除以总面积得到概率。
• 最终结果为 $ \boxed{\dfrac{1013}{1152}} $。