波长范围在450~650 nm之间的复色平行光垂直照射在每厘米有5000条刻线的光栅上，屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色光在屏上所占范围的宽度为35.1 cm。求透镜的焦距f 。

本题主要考察光栅衍射的相关知识，核心是利用光栅方程计算不同波长光的衍射角，再结合光谱宽度与焦距的关系求解焦距。

步骤1：计算光栅常数

光栅每厘米有5000条刻线，故光栅常数$d$为：
$d = \frac{1\ \text{cm}}{5000} = 2 \times 10^{-4}\ \text{cm} = 2 \times 10^{-6}\ \text{m}$

步骤2：利用光栅方程求衍射角

光栅方程为$d\sin\theta = k\lambda$，其中$k=2$（第二级光谱），波长范围$\lambda_1=450\ \text{nm}$（紫光）和$\lambda_2=650\ \text{nm}$（红光）：

• 对$\lambda_1=450\ \text{nm}$：
  $\sin\theta_1 = \frac{2\lambda_1}{d} = \frac{2 \times 450 \times 10^{-9}}{2 \times 10^{-6}} = 0.45$
  $\theta_1 \approx 26.74^\circ$
• 对$\lambda_2=650\ \text{nm}$：
  $\sin\theta_2 = \frac{2\lambda_2}{d} = \frac{2 \times 650 \times 10^{-9}}{2 \times 10^{-6}} = 0.65$
  $\theta_2 \approx 40.54^\circ$

步骤3：计算光谱宽度与焦距的关系

光谱宽度$\Delta x = x_2 - x_1$，因屏在透镜焦面处，$x = f\tan\theta$，故：
$\Delta x = f(\tan\theta_2 - \tan\theta_1)$
代入$\Delta x=35.1\ \text{cm}$，$\tan26.74^\circ\approx0.5$，$\tan40.54^\circ\approx0.857$：
$35.1 = f(0.857 - 0.5)$
$f = \frac{35.1}{0.357} \approx 100\ \text{cm}$