题目
设 f(x) = (1-x cdot 2^1-x)/((2-x)(1-x)) (x neq 1,2)，若 f(x) 在 [1,2] 上连续，则 f(1)f(2) = ___
设 $f(x) = \frac{1-x \cdot 2^{1-x}}{(2-x)(1-x)} (x \neq 1,2)$，若 $f(x)$ 在 $[1,2]$ 上连续，则 $f(1)f(2) = \_\_\_$
题目解答
答案
我们来分析并解决这道题：
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### **题目：**
设函数
$$
f(x) = \frac{1 - x \cdot 2^{1 - x}}{(2 - x)(1 - x)} \quad (x \ne 1, 2)
$$
若 $ f(x) $ 在区间 $[1, 2]$ 上连续，则求 $ f(1)f(2) = \, ? $
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### **分析：**
函数 $ f(x) $ 在 $ x = 1 $ 和 $ x = 2 $ 处没有定义，但题目说它在区间 $[1, 2]$ 上连续，说明这两个点是**可去间断点**，即可以通过补充定义使得函数在这两点连续。
因此，我们可以通过求极限来定义 $ f(1) $ 和 $ f(2) $，使得函数在 $[1, 2]$ 上连续。
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## **第一步：求 $ f(1) $**
我们定义：
$$
f(1) = \lim_{x \to 1} \frac{1 - x \cdot 2^{1 - x}}{(2 - x)(1 - x)}
$$
### **分子分析：**
设：
$$
g(x) = 1 - x \cdot 2^{1 - x}
$$
我们对 $ g(x) $ 在 $ x = 1 $ 处求极限：
$$
\lim_{x \to 1} g(x) = \lim_{x \to 1} \left(1 - x \cdot 2^{1 - x}\right)
$$
代入 $ x = 1 $：
$$
1 - 1 \cdot 2^{1 - 1} = 1 - 1 \cdot 1 = 0
$$
所以分子极限为 0。
### **分母分析：**
$$
(2 - x)(1 - x) \to (2 - 1)(1 - 1) = 1 \cdot 0 = 0
$$
所以这是一个 $ \frac{0}{0} $ 型极限，可以使用洛必达法则。
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### **使用洛必达法则：**
设：
$$
f(x) = \frac{1 - x \cdot 2^{1 - x}}{(2 - x)(1 - x)}
$$
我们对分子和分母分别求导：
#### **分子导数：**
$$
g(x) = 1 - x \cdot 2^{1 - x}
$$
$$
g'(x) = - \left[ x \cdot \frac{d}{dx} 2^{1 - x} + 2^{1 - x} \cdot \frac{d}{dx} x \right]
$$
$$
= - \left[ x \cdot 2^{1 - x} \cdot \ln 2 \cdot (-1) + 2^{1 - x} \cdot 1 \right]
$$
$$
= - \left[ -x \cdot 2^{1 - x} \ln 2 + 2^{1 - x} \right]
$$
$$
= x \cdot 2^{1 - x} \ln 2 - 2^{1 - x}
$$
$$
= 2^{1 - x} (x \ln 2 - 1)
$$
---
#### **分母导数：**
$$
h(x) = (2 - x)(1 - x) = 2 - 3x + x^2
$$
$$
h'(x) = -3 + 2x
$$
---
所以：
$$
f(1) = \lim_{x \to 1} \frac{2^{1 - x} (x \ln 2 - 1)}{-3 + 2x}
$$
代入 $ x = 1 $：
$$
f(1) = \frac{2^{1 - 1} (1 \cdot \ln 2 - 1)}{-3 + 2 \cdot 1}
= \frac{1 \cdot (\ln 2 - 1)}{-1}
= 1 - \ln 2
$$
---
## **第二步：求 $ f(2) $**
$$
f(2) = \lim_{x \to 2} \frac{1 - x \cdot 2^{1 - x}}{(2 - x)(1 - x)}
$$
同样，我们检查极限：
- 分子：$ 1 - x \cdot 2^{1 - x} \to 1 - 2 \cdot 2^{-1} = 1 - 1 = 0 $
- 分母：$ (2 - x)(1 - x) \to 0 \cdot (-1) = 0 $
再次使用洛必达法则。
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### **分子导数（同上）：**
$$
g'(x) = 2^{1 - x} (x \ln 2 - 1)
$$
### **分母导数：**
$$
h'(x) = -3 + 2x
$$
所以：
$$
f(2) = \lim_{x \to 2} \frac{2^{1 - x} (x \ln 2 - 1)}{-3 + 2x}
$$
代入 $ x = 2 $：
$$
f(2) = \frac{2^{1 - 2} (2 \ln 2 - 1)}{-3 + 4}
= \frac{2^{-1} (2 \ln 2 - 1)}{1}
= \frac{1}{2} (2 \ln 2 - 1)
= \ln 2 - \frac{1}{2}
$$
---
## **第三步：计算 $ f(1)f(2) $**
我们已经得到：
- $ f(1) = 1 - \ln 2 $
- $ f(2) = \ln 2 - \frac{1}{2} $
所以：
$$
f(1)f(2) = (1 - \ln 2)(\ln 2 - \frac{1}{2})
$$
我们展开这个乘积：
$$
= (1)(\ln 2 - \frac{1}{2}) - \ln 2 (\ln 2 - \frac{1}{2})
$$
$$
= \ln 2 - \frac{1}{2} - \ln^2 2 + \frac{1}{2} \ln 2
$$
$$
= \left( \ln 2 + \frac{1}{2} \ln 2 \right) - \ln^2 2 - \frac{1}{2}
= \frac{3}{2} \ln 2 - \ln^2 2 - \frac{1}{2}
$$
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### **最终答案：**
$$
\boxed{f(1)f(2) = \frac{3}{2} \ln 2 - \ln^2 2 - \frac{1}{2}}
$$
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如果你希望这个表达式更简洁，也可以写成：
$$
\boxed{f(1)f(2) = \frac{3}{2} \ln 2 - \ln^2 2 - \frac{1}{2}}
$$
解析
考查要点：本题主要考查函数连续性的概念及极限的计算，特别是利用洛必达法则处理$\frac{0}{0}$型不定式。
解题核心思路：
- 可去间断点：函数$f(x)$在$x=1$和$x=2$处无定义，但题目要求$f(x)$在$[1,2]$上连续，说明这两个点是可去间断点，需通过极限补充定义$f(1)$和$f(2)$。
- 洛必达法则：当$x \to 1$和$x \to 2$时，分子分母均趋近于$0$，需对分子分母分别求导，化简后求极限。
求$f(1)$
定义$f(1) = \lim\limits_{x \to 1} \frac{1 - x \cdot 2^{1-x}}{(2-x)(1-x)}$。
- 分子分析：当$x \to 1$时，分子$1 - x \cdot 2^{1-x} \to 0$。
- 分母分析：$(2-x)(1-x) \to 0$，形成$\frac{0}{0}$型极限，应用洛必达法则。
- 分子导数：
$g'(x) = \frac{d}{dx}\left(1 - x \cdot 2^{1-x}\right) = 2^{1-x}(x \ln 2 - 1).$ - 分母导数：
$h'(x) = \frac{d}{dx}\left[(2-x)(1-x)\right] = -3 + 2x.$ - 代入$x=1$：
$f(1) = \frac{2^{0}(1 \cdot \ln 2 - 1)}{-1} = 1 - \ln 2.$
求$f(2)$
定义$f(2) = \lim\limits_{x \to 2} \frac{1 - x \cdot 2^{1-x}}{(2-x)(1-x)}$。
- 分子分析：当$x \to 2$时，分子$1 - 2 \cdot 2^{-1} = 0$。
- 分母分析：$(2-x)(1-x) \to 0$，再次应用洛必达法则。
- 分子导数：同上，$g'(x) = 2^{1-x}(x \ln 2 - 1)$。
- 分母导数：同上，$h'(x) = -3 + 2x$。
- 代入$x=2$：
$f(2) = \frac{2^{-1}(2 \ln 2 - 1)}{1} = \ln 2 - \frac{1}{2}.$
计算$f(1)f(2)$
展开乘积：
$\begin{aligned}f(1)f(2) &= (1 - \ln 2)\left(\ln 2 - \frac{1}{2}\right) \\&= \ln 2 - \frac{1}{2} - \ln^2 2 + \frac{1}{2} \ln 2 \\&= \frac{3}{2} \ln 2 - \ln^2 2 - \frac{1}{2}.\end{aligned}$