题目
15.（单选题，4分） iintlimits_(Sigma)xzdydz+x^2ydzdx+y^2zdx dy，其中sum为抛物面z=x^2+y^2，圆柱面x^2+y^2=1和三个坐标面在第一卦限所围成的空间区域整个边界的外侧. A. 0 B. (pi)/(8) C. -(pi)/(8) D. -(pi)/(4)
15.（单选题，4分） $\iint\limits_{\Sigma}xzdydz+x^{2}ydzdx+y^{2}zdx dy$，其中$\sum$为抛物面$z=x^{2}+y^{2}$，圆柱面$x^{2}+y^{2}=1$和三个坐标面在第一卦限所围成的空间区域整个边界的外侧.
A. 0
B. $\frac{\pi}{8}$
C. $-\frac{\pi}{8}$
D. $-\frac{\pi}{4}$
A. 0
B. $\frac{\pi}{8}$
C. $-\frac{\pi}{8}$
D. $-\frac{\pi}{4}$
题目解答
答案
将向量场 $\mathbf{F} = (xz, x^2y, y^2z)$ 应用高斯公式，得散度 $\nabla \cdot \mathbf{F} = z + x^2 + y^2$。
积分区域 $\Omega$ 在柱坐标系中为 $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$，$0 \leq r \leq 1$，$0 \leq z \leq r^2$，体积元素 $dV = r \, dz \, dr \, d\theta$。
三重积分为
\[
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^1 \int_0^{r^2} (z + r^2) r \, dz \, dr \, d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^1 \left[ \frac{3r^5}{2} \right]_0^{r^2} dr \, d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{4} d\theta = \frac{\pi}{8}.
\]
答案：$\boxed{B}$
解析
步骤 1：应用高斯公式
将向量场 $\mathbf{F} = (xz, x^2y, y^2z)$ 应用高斯公式，得散度 $\nabla \cdot \mathbf{F} = z + x^2 + y^2$。
步骤 2：确定积分区域
积分区域 $\Omega$ 在柱坐标系中为 $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$，$0 \leq r \leq 1$，$0 \leq z \leq r^2$，体积元素 $dV = r \, dz \, dr \, d\theta$。
步骤 3：计算三重积分
三重积分为 \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^1 \int_0^{r^2} (z + r^2) r \, dz \, dr \, d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^1 \left[ \frac{3r^5}{2} \right]_0^{r^2} dr \, d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{4} d\theta = \frac{\pi}{8}. \]
将向量场 $\mathbf{F} = (xz, x^2y, y^2z)$ 应用高斯公式，得散度 $\nabla \cdot \mathbf{F} = z + x^2 + y^2$。
步骤 2：确定积分区域
积分区域 $\Omega$ 在柱坐标系中为 $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$，$0 \leq r \leq 1$，$0 \leq z \leq r^2$，体积元素 $dV = r \, dz \, dr \, d\theta$。
步骤 3：计算三重积分
三重积分为 \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^1 \int_0^{r^2} (z + r^2) r \, dz \, dr \, d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^1 \left[ \frac{3r^5}{2} \right]_0^{r^2} dr \, d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{4} d\theta = \frac{\pi}{8}. \]