7.用正交变换化二次型f(x_(1),x_(2),x_(3))=2x_(1)^2+3x_(2)^2+3x_(3)^2+4x_(2)x_(3)为标准形并写出所用的正交变换矩阵。

为了用正交变换将二次型 $ f(x_1, x_2, x_3) = 2x_1^2 + 3x_2^2 + 3x_3^2 + 4x_2x_3 $ 化为标准形，我们需要遵循以下步骤： 1. **写出二次型的矩阵表示：** 二次型 $ f(x_1, x_2, x_3) $ 可以写成矩阵形式 $ \mathbf{x}^T A \mathbf{x} $，其中 $ \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} $ 且 $ A $ 是对称矩阵。矩阵 $ A $ 为： \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 2 \\ 0 & 2 & 3 \end{pmatrix} \] 2. **求矩阵 $ A $ 的特征值：** 特征值是特征方程 $ \det(A - \lambda I) = 0 $ 的解。这里， $ I $ 是单位矩阵，所以： \[ A - \lambda I = \begin{pmatrix} 2 - \lambda & 0 & 0 \\ 0 & 3 - \lambda & 2 \\ 0 & 2 & 3 - \lambda \end{pmatrix} \] 特征多项式为： \[ \det(A - \lambda I) = (2 - \lambda) \left( (3 - \lambda)^2 - 4 \right) = (2 - \lambda) (\lambda^2 - 6\lambda + 5) = (2 - \lambda) (\lambda - 1) (\lambda - 5) \] 因此，特征值为 $ \lambda_1 = 1 $， $ \lambda_2 = 2 $， $ \lambda_3 = 5 $。 3. **求每个特征值对应的特征向量：** - 对于 $ \lambda_1 = 1 $： \[ (A - I) \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \] 这给出了方程组 $ v_1 = 0 $ 和 $ 2v_2 + 2v_3 = 0 $，即 $ v_2 = -v_3 $。一个特征向量是 $ \mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} $。 - 对于 $ \lambda_2 = 2 $： \[ (A - 2I) \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \] 这给出了方程组 $ v_2 + 2v_3 = 0 $ 和 $ 2v_2 + v_3 = 0 $，即 $ v_2 = v_3 = 0 $。一个特征向量是 $ \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $。 - 对于 $ \lambda_3 = 5 $： \[ (A - 5I) \mathbf{v} = \begin{pmatrix} -3 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 2 \\ 0 & 2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \] 这给出了方程组 $ -3v_1 = 0 $ 和 $ -2v_2 + 2v_3 = 0 $，即 $ v_1 = 0 $ 和 $ v_2 = v_3 $。一个特征向量是 $ \mathbf{v}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} $。 4. **将特征向量单位化：** - $ \mathbf{v}_1 $ 的单位化向量是 $ \mathbf{u}_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} $。 - $ \mathbf{v}_2 $ 的单位化向量是 $ \mathbf{u}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $。 - $ \mathbf{v}_3 $ 的单位化向量是 $ \mathbf{u}_3 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} $。 5. **形成正交矩阵 $ P $：** 正交矩阵 $ P $ 的列是单位化特征向量： \[ P = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \] 6. **写出二次型的标准形：** 二次型的标准形为 $ \mathbf{y}^T D \mathbf{y} $，其中 $ D $ 是对角矩阵，对角线元素是特征值， $ \mathbf{y} = P^T \mathbf{x} $。因此，标准形为： \[ f(y_1, y_2, y_3) = y_1^2 + 2y_2^2 + 5y_3^2 \] 所用的正交变换矩阵为： \[ \boxed{\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}} \]