题目
对于n阶方阵AB,如果满足AB=E,则矩阵AB一定可逆,且互为逆矩阵A. 对B. 错
对于n阶方阵AB,如果满足AB=E,则矩阵AB一定可逆,且互为逆矩阵
A. 对
B. 错
题目解答
答案
A. 对
解析
步骤 1：定义可逆矩阵
一个n阶方阵A是可逆的，如果存在另一个n阶方阵B，使得AB=BA=E，其中E是n阶单位矩阵。此时，B称为A的逆矩阵，记作A^{-1}。
步骤 2：验证AB=E的条件
题目中给出的条件是AB=E，这表明矩阵A和B的乘积是单位矩阵E。根据可逆矩阵的定义，如果AB=E，那么B是A的逆矩阵，即B=A^{-1}。
步骤 3：验证BA=E的条件
根据矩阵乘法的性质，如果AB=E，那么BA也必须等于E。这是因为如果A和B互为逆矩阵，那么它们的乘积无论顺序如何，都必须是单位矩阵E。因此，BA=E也成立。
步骤 4：结论
由于AB=E且BA=E，根据可逆矩阵的定义，矩阵A和B都是可逆的，并且互为逆矩阵。
一个n阶方阵A是可逆的，如果存在另一个n阶方阵B，使得AB=BA=E，其中E是n阶单位矩阵。此时，B称为A的逆矩阵，记作A^{-1}。
步骤 2：验证AB=E的条件
题目中给出的条件是AB=E，这表明矩阵A和B的乘积是单位矩阵E。根据可逆矩阵的定义，如果AB=E，那么B是A的逆矩阵，即B=A^{-1}。
步骤 3：验证BA=E的条件
根据矩阵乘法的性质，如果AB=E，那么BA也必须等于E。这是因为如果A和B互为逆矩阵，那么它们的乘积无论顺序如何，都必须是单位矩阵E。因此，BA=E也成立。
步骤 4：结论
由于AB=E且BA=E，根据可逆矩阵的定义，矩阵A和B都是可逆的，并且互为逆矩阵。