题目
lim _(xarrow 0)(dfrac (1)(x)-dfrac (1)({e)^x-1}) ()-|||-__ __
题目解答
答案
解:
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解析
步骤 1：将极限表达式转换为一个分式
将给定的极限表达式转换为一个分式，以便于后续的计算。我们有：
$$\lim _{x\rightarrow 0}(\dfrac {1}{x}-\dfrac {1}{{e}^{x}-1})=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{e}^{x}-1-x}{x({e}^{x}-1)}$$
步骤 2：应用洛必达法则
由于直接代入$x=0$会导致分母为0，我们应用洛必达法则，对分子和分母分别求导，得到：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{e}^{x}-1}{{e}^{x}-1+x({e}^{x}-0)}$$
步骤 3：再次应用洛必达法则
由于上一步的结果仍然导致分母为0，我们再次应用洛必达法则，对分子和分母分别求导，得到：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{e}^{x}}{{e}^{x}(x+1)+{e}^{x}}$$
步骤 4：代入$x=0$
将$x=0$代入上一步的结果，得到：
$$\dfrac {1}{1\times (0+1)+1}=\dfrac {1}{2}$$
将给定的极限表达式转换为一个分式，以便于后续的计算。我们有：
$$\lim _{x\rightarrow 0}(\dfrac {1}{x}-\dfrac {1}{{e}^{x}-1})=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{e}^{x}-1-x}{x({e}^{x}-1)}$$
步骤 2：应用洛必达法则
由于直接代入$x=0$会导致分母为0，我们应用洛必达法则，对分子和分母分别求导，得到：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{e}^{x}-1}{{e}^{x}-1+x({e}^{x}-0)}$$
步骤 3：再次应用洛必达法则
由于上一步的结果仍然导致分母为0，我们再次应用洛必达法则，对分子和分母分别求导，得到：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{e}^{x}}{{e}^{x}(x+1)+{e}^{x}}$$
步骤 4：代入$x=0$
将$x=0$代入上一步的结果，得到：
$$\dfrac {1}{1\times (0+1)+1}=\dfrac {1}{2}$$