转动惯量为Ⅰ、电偶极矩为D的空间转子处在均匀电场昢中,如果电场较小,用微扰法求转子基态能量的一级修正。

考查要点：本题主要考查微扰理论在量子力学中的应用，特别是基态能量的一级修正计算。需要理解哈密顿量的分解、波函数的对称性以及积分计算中的对称性简化。

解题核心思路：

1. 分解哈密顿量：将总哈密顿量分为未受扰部分 $H_0$（转动能）和微扰部分 $H'$（电场与电偶极矩的相互作用）。
2. 确定基态波函数：基态对应 $l=0$ 的球谐函数 $Y_0^0$，其角度部分对称。
3. 计算一级修正：利用微扰公式 $E^{(1)} = \langle \varphi_0 | H' | \varphi_0 \rangle$，通过积分验证对称性导致结果为零。

破题关键点：

• 对称性分析：基态波函数的角度部分为常数，导致 $\cos\theta$ 的积分在球坐标系中对称抵消。
• 积分简化：径向积分归一化后为1，角度积分因对称性结果为0。

哈密顿量分解

总哈密顿量为：
$H = H_0 + H', \quad H_0 = \frac{L^2}{2I}, \quad H' = -DE\cos\theta$
其中 $H_0$ 对应转子的转动动能，$H'$ 是电场对电偶极矩的作用。

基态波函数

基态对应 $l=0$，波函数为：
$\varphi_0 = R_{10}(r) Y_0^0(\theta, \phi) = \frac{1}{\sqrt{4\pi}} R_{10}(r)$
其中 $R_{10}(r)$ 满足径向归一化条件：
$\int_0^\infty R_{10}^2 r^2 dr = 1$

一级修正计算

根据微扰公式：
$E_0^{(1)} = \int \varphi_0^* H' \varphi_0 d^3r = -DE \int R_{10}^2 r^2 dr \int Y_0^0 \cos\theta Y_0^0 \sin\theta d\theta d\phi$

径向积分

径向部分：
$\int_0^\infty R_{10}^2 r^2 dr = 1$

角度积分

角度部分：
$\int_0^{2\pi} d\phi \int_0^\pi \cos\theta \sin\theta d\theta = 2\pi \int_0^\pi \cos\theta \sin\theta d\theta$
令 $u = \sin\theta$，则 $du = \cos\theta d\theta$，积分变为：
$\int_{0}^{0} u du = 0$

结果

角度积分结果为0，因此：
$E_0^{(1)} = -DE \cdot 1 \cdot 0 = 0$