lim _(x arrow infty)(1-(1)/(3x))^x= ( )A. e^-3B. e^-(1)/(3)C. e^(1)/(3)D. e^3

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是利用重要极限公式 $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{a}{x}\right)^x = e^a$ 的变形应用。

解题核心思路：
将题目中的表达式 $\left(1 - \frac{1}{3x}\right)^x$ 转化为标准形式 $\left(1 + \frac{a}{x}\right)^x$，通过变量替换或取对数的方法，结合泰勒展开或极限性质求解。

破题关键点：

1. 识别结构：观察到表达式与重要极限形式的相似性，明确需要调整符号和系数。
2. 灵活变形：通过变量替换或对数转换，将原式转化为可直接应用标准极限的形式。
3. 处理无穷小量：利用泰勒展开或等价无穷小替换简化计算。

方法一：变量替换法

1. 变形表达式：
   原式为 $\left(1 - \frac{1}{3x}\right)^x$，令 $n = 3x$，则当 $x \to \infty$ 时，$n \to \infty$，且 $x = \frac{n}{3}$。
   代入得：
   $\left(1 - \frac{1}{n}\right)^{\frac{n}{3}} = \left[\left(1 - \frac{1}{n}\right)^n\right]^{\frac{1}{3}}.$
2. 应用重要极限：
   根据 $\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n = e^{-1}$，因此原式极限为：
   $\left(e^{-1}\right)^{\frac{1}{3}} = e^{-\frac{1}{3}}.$

方法二：取对数法

1. 设函数并取对数：
   设 $y = \left(1 - \frac{1}{3x}\right)^x$，则 $\ln y = x \cdot \ln\left(1 - \frac{1}{3x}\right)$。
2. 泰勒展开近似：
   当 $x \to \infty$ 时，$\frac{1}{3x}$ 趋近于 $0$，利用 $\ln(1 - t) \approx -t - \frac{t^2}{2}$（$t$ 为无穷小量），得：
   $\ln y \approx x \left(-\frac{1}{3x} - \frac{1}{2 \cdot (3x)^2}\right) = -\frac{1}{3} - \frac{1}{18x}.$
3. 求极限并还原：
   当 $x \to \infty$ 时，$\frac{1}{18x} \to 0$，故 $\ln y \to -\frac{1}{3}$，因此 $y \to e^{-\frac{1}{3}}$。