4.函数 (x)=((x-1))^dfrac (1{3)}((x-2))^dfrac (2{3)} 在闭区间[0,4]上的最值是-|||-A.最大值为 sqrt [3](4); 最小值为 -sqrt [3](12)-|||-○B.最大值为 sqrt [3](12); 最小值为 -sqrt [3](4)-|||-C.最大值为 sqrt [3](12) ;最小值为0-|||-D.最大值为0;最小值为 -sqrt [3](4)

本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值，关键是通过求导确定函数的单调性，进而找出极值点和端点，比较函数值得到最值。

步骤1：求函数的导数

函数 $f(x) = (x-1)^{\frac{1}{3}} (x-2)^{\frac{2}{3}}$，为求导方便，先取自然对数：
$\ln f(x) = \frac{1}{3}\ln|x-1| + \frac{2}{3}\ln|x-2|$
两边对 $x$ 求导：
$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{1}{3(x-1)} + \frac{2}{3(x-2)}$
整理得：
$f'(x) = f(x) \cdot \frac{(x-2) + 2(x-1)}{3(x-1)(x-2)} = \frac{(x-1)^{\frac{1}{3}} (x-2)^{\frac{2}{3}} \cdot (3x - 4)}{3(x--1)(x-2)} = \frac{3x - 4}{3(x-1)^{\frac{2}{3}} (x-2)^{\frac{1}{3}}}$

步骤2：确定导数的零点与符号

导数 $f'(x$ 的分母恒不为零，分子 $3x - 4 = 0$ 得 $x = \frac{4}{3}{3}$（唯一驻点）。

• 区间 $[0, \frac{4}{3})$：$3x - 4 < 0$，分母 $(x-1)^{\frac{2}{3}} (x-2)^{\frac{1}{3} < 0$（因 $x-2 < 0$），故 $f'(x) > 0$，函数单调递增；
• 区间 $(\frac{4}{3}, 2)$：\ 3x - 4 >0 )，分母 $<0$，故 $f'(x) <0$，函数单调递减；
• 区间 $x=2$：函数 $f(2)=0$（因 $(x-2)^{\frac{2}{3}}=0$）；
• 区间 $(2,4]$：\ 3x -4 >0 )，分母 $(x-2)^{\frac{1}{3}} >0$，故 $f'(x) >0$，函数单调递增。

步骤3：计算关键点位的函数值

• 端点 $f(0) = (0-1)^{\frac{1}{3}} (0-2)^{\frac{2}{3}} = (-1) \cdot (\sqrt[3]{4}) = -\sqrt[3]{4}$
• 驻点 $f(\frac{4}{3}) = (\frac{4}{3}-1)^{\frac{13} (\frac{4}{3}-2)^{\frac{2}{3}} = (\frac{1}{3})^{\frac{1}{3}} (-\frac{2}{3})^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt[3]{\frac{4}{9}} = \sqrt[3]{\frac{4}{27}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{3}$
• 点 $f(2)=0$
• 端点 $f(4) = (4-1)^{\frac{1}{3}} (2)^{\frac{2}{3}} = 3 \cdot \sqrt[3]{4} = \ \sqrt[3]{12}$

步骤4：比较函数值确定最值

• 最大值：(4)=√[3]{12}
• 最小值：f(0)=-√[3]{4}