题目
1.求微分方程xy^prime=3y+x^2的通解.
1.求微分方程$xy^{\prime}=3y+x^{2}$的通解.
题目解答
答案
将原方程改写为标准形式：
\[ y' - \frac{3}{x}y = x \]
利用一阶线性微分方程的通解公式，其中 $P(x) = -\frac{3}{x}$，$Q(x) = x$：
\[ y = e^{-\int P(x) \, dx} \left( \int Q(x) e^{\int P(x) \, dx} \, dx + C \right) \]
计算积分因子：
\[ e^{\int P(x) \, dx} = e^{-\ln x^3} = \frac{1}{x^3} \]
代入公式：
\[ y = x^3 \left( \int x \cdot \frac{1}{x^3} \, dx + C \right) = x^3 \left( -\frac{1}{x} + C \right) = Cx^3 - x^2 \]
**答案：**
\[ \boxed{y = Cx^3 - x^2} \]
解析
步骤 1：将原方程改写为标准形式
将原方程改写为标准形式： \[ y' - \frac{3}{x}y = x \] 这是一个一阶线性微分方程，其中 $P(x) = -\frac{3}{x}$，$Q(x) = x$。
步骤 2：计算积分因子
利用一阶线性微分方程的通解公式，其中 $P(x) = -\frac{3}{x}$，$Q(x) = x$： \[ y = e^{-\int P(x) \, dx} \left( \int Q(x) e^{\int P(x) \, dx} \, dx + C \right) \] 计算积分因子： \[ e^{\int P(x) \, dx} = e^{-\ln x^3} = \frac{1}{x^3} \]
步骤 3：代入公式求解
代入公式： \[ y = x^3 \left( \int x \cdot \frac{1}{x^3} \, dx + C \right) = x^3 \left( -\frac{1}{x} + C \right) = Cx^3 - x^2 \]
将原方程改写为标准形式： \[ y' - \frac{3}{x}y = x \] 这是一个一阶线性微分方程，其中 $P(x) = -\frac{3}{x}$，$Q(x) = x$。
步骤 2：计算积分因子
利用一阶线性微分方程的通解公式，其中 $P(x) = -\frac{3}{x}$，$Q(x) = x$： \[ y = e^{-\int P(x) \, dx} \left( \int Q(x) e^{\int P(x) \, dx} \, dx + C \right) \] 计算积分因子： \[ e^{\int P(x) \, dx} = e^{-\ln x^3} = \frac{1}{x^3} \]
步骤 3：代入公式求解
代入公式： \[ y = x^3 \left( \int x \cdot \frac{1}{x^3} \, dx + C \right) = x^3 \left( -\frac{1}{x} + C \right) = Cx^3 - x^2 \]