题目
设 3 阶矩阵 A= (α1, α2 , α3 ), B= ( β1, β2 , β3 ), 若向量组 α1 , α2 , α3 可以由向量组 β1 , β2 , β3 线性表出,则( )A. Ax=0 的解均为 Bx=0 的解.B. AT x=0 的解均为 BT x=0 的解.C. Bx=0 的解均为 Ax=0 的解.D. BT x=0 的解均为 AT x=0 的解.
设 3 阶矩阵 A= (α1, α2 , α3 ), B= ( β1, β2 , β3 ), 若向量组 α1 , α2 , α3 可以由向量组 β1 , β2 , β3 线性表出,则( )
A. Ax=0 的解均为 Bx=0 的解.
B. AT x=0 的解均为 BT x=0 的解.
C. Bx=0 的解均为 Ax=0 的解.
D. BT x=0 的解均为 AT x=0 的解.
题目解答
答案
D. BT x=0 的解均为 AT x=0 的解.
解析
步骤 1：理解向量组线性表出的含义
向量组 α1, α2, α3 可以由向量组 β1, β2, β3 线性表出，意味着存在一组数 k1, k2, k3，使得 α1 = k1β1 + k2β2 + k3β3，α2 和 α3 也类似地可以表示为 β1, β2, β3 的线性组合。
步骤 2：分析矩阵 A 和 B 的关系
由于 α1, α2, α3 可以由 β1, β2, β3 线性表出，矩阵 A 的列向量可以由矩阵 B 的列向量线性表出，这意味着矩阵 A 的列空间是矩阵 B 的列空间的子空间。
步骤 3：分析矩阵 A 和 B 的零空间关系
矩阵 A 的零空间是所有满足 Ax=0 的向量 x 的集合，矩阵 B 的零空间是所有满足 Bx=0 的向量 x 的集合。由于 A 的列空间是 B 的列空间的子空间，所以 B 的零空间是 A 的零空间的子空间，即 Bx=0 的解集是 Ax=0 的解集的子集。
步骤 4：分析矩阵 A 和 B 的转置矩阵的零空间关系
矩阵 A 的转置矩阵 AT 的零空间是所有满足 ATx=0 的向量 x 的集合，矩阵 B 的转置矩阵 BT 的零空间是所有满足 BTx=0 的向量 x 的集合。由于 A 的行空间是 B 的行空间的子空间，所以 AT 的零空间是 BT 的零空间的子空间，即 BTx=0 的解集是 ATx=0 的解集的子集。
向量组 α1, α2, α3 可以由向量组 β1, β2, β3 线性表出，意味着存在一组数 k1, k2, k3，使得 α1 = k1β1 + k2β2 + k3β3，α2 和 α3 也类似地可以表示为 β1, β2, β3 的线性组合。
步骤 2：分析矩阵 A 和 B 的关系
由于 α1, α2, α3 可以由 β1, β2, β3 线性表出，矩阵 A 的列向量可以由矩阵 B 的列向量线性表出，这意味着矩阵 A 的列空间是矩阵 B 的列空间的子空间。
步骤 3：分析矩阵 A 和 B 的零空间关系
矩阵 A 的零空间是所有满足 Ax=0 的向量 x 的集合，矩阵 B 的零空间是所有满足 Bx=0 的向量 x 的集合。由于 A 的列空间是 B 的列空间的子空间，所以 B 的零空间是 A 的零空间的子空间，即 Bx=0 的解集是 Ax=0 的解集的子集。
步骤 4：分析矩阵 A 和 B 的转置矩阵的零空间关系
矩阵 A 的转置矩阵 AT 的零空间是所有满足 ATx=0 的向量 x 的集合，矩阵 B 的转置矩阵 BT 的零空间是所有满足 BTx=0 的向量 x 的集合。由于 A 的行空间是 B 的行空间的子空间，所以 AT 的零空间是 BT 的零空间的子空间，即 BTx=0 的解集是 ATx=0 的解集的子集。