题目
设曲线 L 为椭圆 (x^2)/(2) + (y^2)/(3) = 1，其周长为 a，则曲线积分 int_(L) (3x^2 + 4xy + 2y^2)ds = ( ).A. 3aB. 12aC. 6aD. 9a
设曲线 $L$ 为椭圆 $\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{3} = 1$，其周长为 $a$，则曲线积分 $\int_{L} (3x^2 + 4xy + 2y^2)ds = (\quad)$.
A. $3a$
B. $12a$
C. $6a$
D. $9a$
题目解答
答案
C. $6a$
解析
步骤 1：转换椭圆方程
将椭圆方程 $\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{3} = 1$ 转换为 $y^2 = 3 - \frac{3x^2}{2}$。
步骤 2：代入被积函数
代入被积函数 $3x^2 + 4xy + 2y^2$ 得：\[ 3x^2 + 4xy + 2y^2 = 3x^2 + 2\left(3 - \frac{3x^2}{2}\right) + 4xy = 6 + 4xy. \]
步骤 3：分析奇函数性质
由于 $4xy$ 关于 $x$ 和 $y$ 均为奇函数，积分后为零。
步骤 4：计算剩余部分
剩余部分为：\[ \int_L 6 \, ds = 6 \int_L ds = 6a. \]
将椭圆方程 $\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{3} = 1$ 转换为 $y^2 = 3 - \frac{3x^2}{2}$。
步骤 2：代入被积函数
代入被积函数 $3x^2 + 4xy + 2y^2$ 得：\[ 3x^2 + 4xy + 2y^2 = 3x^2 + 2\left(3 - \frac{3x^2}{2}\right) + 4xy = 6 + 4xy. \]
步骤 3：分析奇函数性质
由于 $4xy$ 关于 $x$ 和 $y$ 均为奇函数，积分后为零。
步骤 4：计算剩余部分
剩余部分为：\[ \int_L 6 \, ds = 6 \int_L ds = 6a. \]