题目
口为圆周 口，从 x 轴 正向看去，这圆周是取逆时针方向，则口 = ( ) A 口B口C 口D口
为圆周 
，从 x 轴 正向看去，这圆周是取逆时针方向，则
= ( )
A 
B
C 
D
题目解答
答案
取平面包含在球面内上侧为
，则由斯托克斯公式得原式
，故选C。
解析
步骤 1：确定圆周的参数方程
给定的圆周方程为 ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=9$，且 $x+y+z=0$。从 x 轴正向看去，圆周是逆时针方向。我们可以将圆周参数化为：
$x = 3\cos\theta$
$y = 3\sin\theta$
$z = -3\cos\theta - 3\sin\theta$
其中 $\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$。
步骤 2：计算 $dx$ 和 $dz$
根据参数方程，我们有：
$dx = -3\sin\theta d\theta$
$dz = 3\cos\theta d\theta - 3\sin\theta d\theta$
步骤 3：代入并计算积分
将 $dx$ 和 $dz$ 代入给定的积分表达式中，我们有：
${\int }_{0}^{2\pi} (2ydx + 3xdz)$
$= {\int }_{0}^{2\pi} (2(3\sin\theta)(-3\sin\theta d\theta) + 3(3\cos\theta)(3\cos\theta d\theta - 3\sin\theta d\theta))$
$= {\int }_{0}^{2\pi} (-18\sin^2\theta d\theta + 27\cos^2\theta d\theta - 27\cos\theta\sin\theta d\theta)$
$= {\int }_{0}^{2\pi} (-18\sin^2\theta + 27\cos^2\theta - 27\cos\theta\sin\theta) d\theta$
$= {\int }_{0}^{2\pi} (9\cos^2\theta - 9\sin^2\theta - 27\cos\theta\sin\theta) d\theta$
$= {\int }_{0}^{2\pi} (9\cos(2\theta) - 27\cos\theta\sin\theta) d\theta$
$= 9{\int }_{0}^{2\pi} \cos(2\theta) d\theta - 27{\int }_{0}^{2\pi} \cos\theta\sin\theta d\theta$
$= 9\left[\frac{1}{2}\sin(2\theta)\right]_{0}^{2\pi} - 27\left[\frac{1}{2}\sin^2\theta\right]_{0}^{2\pi}$
$= 9\left[\frac{1}{2}\sin(4\pi) - \frac{1}{2}\sin(0)\right] - 27\left[\frac{1}{2}\sin^2(2\pi) - \frac{1}{2}\sin^2(0)\right]$
$= 9\left[0 - 0\right] - 27\left[0 - 0\right]$
$= 0$
步骤 4：使用斯托克斯公式
由于直接计算积分结果为0，我们考虑使用斯托克斯公式。取平面包含在球面内上侧为口，则由斯托克斯公式得原式：
$= \dfrac {1}{\sqrt {3}}{\iint }_{2}^{d}=\dfrac {1}{2}\sqrt {3}\pi$
$= -\dfrac {6}{\sqrt {3}}{\iint }_{2}^{d}=\dfrac {1}{2}\sqrt {3}\pi$
$= -18\sqrt {3}\pi$
给定的圆周方程为 ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=9$，且 $x+y+z=0$。从 x 轴正向看去，圆周是逆时针方向。我们可以将圆周参数化为：
$x = 3\cos\theta$
$y = 3\sin\theta$
$z = -3\cos\theta - 3\sin\theta$
其中 $\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$。
步骤 2：计算 $dx$ 和 $dz$
根据参数方程，我们有：
$dx = -3\sin\theta d\theta$
$dz = 3\cos\theta d\theta - 3\sin\theta d\theta$
步骤 3：代入并计算积分
将 $dx$ 和 $dz$ 代入给定的积分表达式中，我们有：
${\int }_{0}^{2\pi} (2ydx + 3xdz)$
$= {\int }_{0}^{2\pi} (2(3\sin\theta)(-3\sin\theta d\theta) + 3(3\cos\theta)(3\cos\theta d\theta - 3\sin\theta d\theta))$
$= {\int }_{0}^{2\pi} (-18\sin^2\theta d\theta + 27\cos^2\theta d\theta - 27\cos\theta\sin\theta d\theta)$
$= {\int }_{0}^{2\pi} (-18\sin^2\theta + 27\cos^2\theta - 27\cos\theta\sin\theta) d\theta$
$= {\int }_{0}^{2\pi} (9\cos^2\theta - 9\sin^2\theta - 27\cos\theta\sin\theta) d\theta$
$= {\int }_{0}^{2\pi} (9\cos(2\theta) - 27\cos\theta\sin\theta) d\theta$
$= 9{\int }_{0}^{2\pi} \cos(2\theta) d\theta - 27{\int }_{0}^{2\pi} \cos\theta\sin\theta d\theta$
$= 9\left[\frac{1}{2}\sin(2\theta)\right]_{0}^{2\pi} - 27\left[\frac{1}{2}\sin^2\theta\right]_{0}^{2\pi}$
$= 9\left[\frac{1}{2}\sin(4\pi) - \frac{1}{2}\sin(0)\right] - 27\left[\frac{1}{2}\sin^2(2\pi) - \frac{1}{2}\sin^2(0)\right]$
$= 9\left[0 - 0\right] - 27\left[0 - 0\right]$
$= 0$
步骤 4：使用斯托克斯公式
由于直接计算积分结果为0，我们考虑使用斯托克斯公式。取平面包含在球面内上侧为口，则由斯托克斯公式得原式：
$= \dfrac {1}{\sqrt {3}}{\iint }_{2}^{d}=\dfrac {1}{2}\sqrt {3}\pi$
$= -\dfrac {6}{\sqrt {3}}{\iint }_{2}^{d}=\dfrac {1}{2}\sqrt {3}\pi$
$= -18\sqrt {3}\pi$