题目
( 单选题 4.0 分 )关于函数 z = xy 下列说法正确的是（）A.函数 z = xy 在 ( 0 , 0 ) 处有极大值B. ( 0 , 0 ) 不是函数 z = xy 的驻点C.函数 z = xy 在 ( 0 , 0 ) 处无极值D. 函数 z = xy 在 ( 0 , 0 ) 处有极小值 0
( 单选题 4.0 分 )关于函数 z = xy 下列说法正确的是（）
A.函数 z = xy 在 ( 0 , 0 ) 处有极大值
B. ( 0 , 0 ) 不是函数 z = xy 的驻点
C.函数 z = xy 在 ( 0 , 0 ) 处无极值
D. 函数 z = xy 在 ( 0 , 0 ) 处有极小值 0
题目解答
答案
首先对z分别求x,y的偏导数
有
令
因此驻点为（0，0），B错误
进一步求导，有
即
∴
因此函数在（0，0）不取极值
因此C正确，A,D错误
选择C选项
解析
步骤 1：求偏导数
对函数 $z = xy$ 分别求关于 $x$ 和 $y$ 的偏导数，得到：
${z}_{x} = y$
${z}_{y} = x$
步骤 2：求驻点
令偏导数等于零，得到：
${z}_{x} = y = 0$
${z}_{y} = x = 0$
因此，驻点为 $(0, 0)$，选项 B 错误。
步骤 3：判断极值
进一步求二阶偏导数，得到：
${z}_{xx} = 0$
${z}_{xy} = 1$
${z}_{yy} = 0$
根据二阶偏导数的判别式 $AC - B^2$，其中 $A = {z}_{xx}$，$B = {z}_{xy}$，$C = {z}_{yy}$，计算得到：
$AC - B^2 = 0 \cdot 0 - 1^2 = -1 < 0$
因此，函数在 $(0, 0)$ 处不取极值，选项 A 和 D 错误。
对函数 $z = xy$ 分别求关于 $x$ 和 $y$ 的偏导数，得到：
${z}_{x} = y$
${z}_{y} = x$
步骤 2：求驻点
令偏导数等于零，得到：
${z}_{x} = y = 0$
${z}_{y} = x = 0$
因此，驻点为 $(0, 0)$，选项 B 错误。
步骤 3：判断极值
进一步求二阶偏导数，得到：
${z}_{xx} = 0$
${z}_{xy} = 1$
${z}_{yy} = 0$
根据二阶偏导数的判别式 $AC - B^2$，其中 $A = {z}_{xx}$，$B = {z}_{xy}$，$C = {z}_{yy}$，计算得到：
$AC - B^2 = 0 \cdot 0 - 1^2 = -1 < 0$
因此，函数在 $(0, 0)$ 处不取极值，选项 A 和 D 错误。