题目
题型说明：单选题 7.（1.5分）当x→0时，sin2x/X的极限为（） A. 0 B. 1 C. 2 D. ∞
题型说明：单选题 7.（1.5分）当x→0时，sin2x/X的极限为（）
A. 0
B. 1
C. 2
D. ∞
A. 0
B. 1
C. 2
D. ∞
题目解答
答案
当 $x \to 0$ 时，利用重要极限 $\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$，将表达式 $\frac{\sin 2x}{x}$ 变形为：
\[
\frac{\sin 2x}{x} = 2 \cdot \frac{\sin 2x}{2x}
\]
由于 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} = 1$，故：
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = 2 \cdot 1 = 2
\]
或者使用等价无穷小替换，当 $x \to 0$ 时，$\sin 2x \sim 2x$，则：
\[
\frac{\sin 2x}{x} \sim \frac{2x}{x} = 2
\]
因此，极限为 2，答案选 **C**。
解析
考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是利用重要极限公式或等价无穷小替换求解三角函数与多项式比值的极限。
解题核心思路：
当$x \to 0$时，$\sin x$与$x$是等价无穷小，即$\sin x \sim x$。对于$\sin 2x$，可将其视为$\sin u$（令$u=2x$），从而利用重要极限$\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$，或直接通过等价无穷小替换$\sin 2x \sim 2x$简化计算。
破题关键点：
- 变形表达式：将$\frac{\sin 2x}{x}$转化为与重要极限公式匹配的形式。
- 灵活选择方法：通过等价无穷小替换或重要极限公式均可快速求解。
方法一：利用重要极限公式
- 变形表达式：
$\frac{\sin 2x}{x} = 2 \cdot \frac{\sin 2x}{2x}$
此时，$\frac{\sin 2x}{2x}$的形式与重要极限$\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$一致。 - 代入极限：
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} = 1$
因此，原式极限为：
$2 \cdot 1 = 2$
方法二：等价无穷小替换
当$x \to 0$时，$\sin 2x \sim 2x$，因此：
$\frac{\sin 2x}{x} \sim \frac{2x}{x} = 2$
直接得极限为$2$。