题目

8.[简答题]4.设A=}1&1&3&1&0&02&3&7&0&1&03&4&9&0&0&11&0&0&1&-3&20&1&0&-3&0&10&0&1&1&1&-1试用矩阵分块法求AB.

8.[简答题] 4.设$A=\begin{bmatrix}1&1&3&1&0&0\\2&3&7&0&1&0\\3&4&9&0&0&1\\1&0&0&1&-3&2\\0&1&0&-3&0&1\\0&0&1&1&1&-1\end{bmatrix}$,$B=\begin{bmatrix}1&-3&2&1&0&0\\-3&0&1&0&1&0\\1&1&-1&0&0&1\\1&0&0&1&1&3\\0&1&0&2&3&7\\0&0&1&3&4&9\end{bmatrix}$试用矩阵分块法求AB.

题目解答

答案

为了使用矩阵分块法求解 $AB$，我们首先将矩阵 $A$ 和 $B$ 分块。将 $A$ 分为四块，其中左上角为 $3 \times 3$ 矩阵 $A_1$，右上角为 $3 \times 3$ 矩阵 $A_2$，左下角为 $3 \times 3$ 矩阵 $A_3$，右下角为 $3 \times 3$ 单位矩阵 $I$。将 $B$ 分为四块，其中左上角为 $3 \times 3$ 单位矩阵 $I$，右上角为 $3 \times 3$ 矩阵 $B_1$，左下角为 $3 \times 3$ 零矩阵 $O$，右下角为 $3 \times 3$ 矩阵 $B_2$。 具体分块如下： \[ A = \begin{bmatrix} A_1 & A_2 \\ A_3 & I \end{bmatrix}, \] \[ B = \begin{bmatrix} I & B_1 \\ O & B_2 \end{bmatrix}, \] 其中 \[ A_1 = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 7 \\ 3 & 4 & 9 \end{bmatrix}, \] \[ A_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I, \] \[ A_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I, \] \[ B_1 = \begin{bmatrix} -3 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -3 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}, \] \[ B_2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 7 \\ 3 & 4 & 9 \end{bmatrix} = A_1. \] 根据矩阵分块乘法的规则，我们有 \[ AB = \begin{bmatrix} A_1 & A_2 \\ A_3 & I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I & B_1 \\ O & B_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_1 \cdot I + A_2 \cdot O & A_1 \cdot B_1 + A_2 \cdot B_2 \\ A_3 \cdot I + I \cdot O & A_3 \cdot B_1 + I \cdot B_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_1 & A_1 B_1 + B_2 \\ A_3 & A_3 B_1 + B_2 \end{bmatrix}. \] 首先计算 $A_1 B_1$： \[ A_1 B_1 = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 7 \\ 3 & 4 & 9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -3 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -3 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \cdot (-3) + 1 \cdot 0 + 3 \cdot 1 & 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + 3 \cdot (-1) & 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-3) + 3 \cdot 1 \\ 2 \cdot (-3) + 3 \cdot 0 + 7 \cdot 1 & 2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 + 7 \cdot (-1) & 2 \cdot 1 + 3 \cdot (-3) + 7 \cdot 1 \\ 3 \cdot (-3) + 4 \cdot 0 + 9 \cdot 1 & 3 \cdot 2 + 4 \cdot 1 + 9 \cdot (-1) & 3 \cdot 1 + 4 \cdot (-3) + 9 \cdot 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}. \] 然后计算 $A_1 B_1 + B_2$： \[ A_1 B_1 + B_2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 7 \\ 3 & 4 & 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 3 & 3 & 7 \\ 3 & 5 & 9 \end{bmatrix}. \] 由于 $A_3 = I$，我们有 $A_3 B_1 = B_1$，所以 \[ A_3 B_1 + B_2 = B_1 + B_2 = \begin{bmatrix} -3 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -3 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 7 \\ 3 & 4 & 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 4 \\ 4 & 3 & 10 \end{bmatrix}. \] 因此，矩阵 $AB$ 为 \[ AB = \begin{bmatrix} A_1 & A_1 B_1 + B_2 \\ A_3 & A_3 B_1 + B_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 & 1 & 1 & 4 \\ 2 & 3 & 7 & 3 & 3 & 7 \\ 3 & 4 & 9 & 3 & 5 & 9 \\ 1 & 0 & 0 & -2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & 4 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 4 & 3 & 10 \end{bmatrix}. \] 最终答案为 \[ \boxed{\begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 & 1 & 1 & 4 \\ 2 & 3 & 7 & 3 & 3 & 7 \\ 3 & 4 & 9 & 3 & 5 & 9 \\ 1 & 0 & 0 & -2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & 4 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 4 & 3 & 10 \end{bmatrix}}. \]

解析

矩阵分块法是简化大矩阵运算的有效方法，其核心在于将矩阵划分为更小的子块，利用子块间的运算规律降低计算复杂度。本题的关键在于合理分块，使得分块后的子矩阵满足特定结构（如单位矩阵、零矩阵），从而简化乘法运算。

破题点：

  1. 分块策略：将矩阵$A$和$B$均划分为$3 \times 3$的子块，利用$A$的右下角为单位矩阵$I$，$B$的左下角为零矩阵$O$的特点。
  2. 分块乘法规则：通过子块间的乘法与加法组合，避免直接计算$6 \times 6$矩阵的乘积。

分块矩阵构造

将矩阵$A$和$B$分块如下：
$A = \begin{bmatrix} A_1 & A_2 \\ A_3 & I \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} I & B_1 \\ O & B_2 \end{bmatrix}$
其中：

  • $A_1 = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 7 \\ 3 & 4 & 9 \end{bmatrix}$，$A_2 = A_3 = I$（单位矩阵）
  • $B_1 = \begin{bmatrix} -3 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -3 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}$，$B_2 = A_1$

分块乘法展开

根据分块乘法规则：
$AB = \begin{bmatrix} A_1 \cdot I + A_2 \cdot O & A_1 \cdot B_1 + A_2 \cdot B_2 \\ A_3 \cdot I + I \cdot O & A_3 \cdot B_1 + I \cdot B_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_1 & A_1 B_1 + B_2 \\ A_3 & A_3 B_1 + B_2 \end{bmatrix}$

关键计算步骤

  1. 计算$A_1 B_1$：
    $A_1 B_1 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$
  2. 计算$A_1 B_1 + B_2$：
    $A_1 B_1 + B_2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 3 & 3 & 7 \\ 3 & 5 & 9 \end{bmatrix}$
  3. 计算$A_3 B_1 + B_2$（因$A_3 = I$，等价于$B_1 + B_2$）：
    $B_1 + B_2 = \begin{bmatrix} -2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 4 \\ 4 & 3 & 10 \end{bmatrix}$

最终矩阵构造

将各子块组合，得到$AB$的分块形式：
$AB = \begin{bmatrix} A_1 & A_1 B_1 + B_2 \\ A_3 & A_3 B_1 + B_2 \end{bmatrix}$