题目
曲线 ^-{u^2)du y=(t)^2ln (2-(t)^2) .处的切线方程为________.
曲线
在点
处的切线方程为________.
题目解答
答案
由于
故由变上限积分的导数公式可知：
由导数的四则运算法则可知：
故由参数方程的导数公式可知：
令
，即
故
将代入
中，得到：
故曲线在点处的切线方程为
故
故答案是：曲线在点处的切线方程为.
解析
步骤 1：求解参数方程的导数
首先，我们需要求解参数方程的导数。对于$x$，我们有$x={\int }_{0}^{1-t}{e}^{-{u}^{2}}du$，根据变上限积分的导数公式，我们得到$\dfrac {dx}{dt}=-{e}^{-{(1-t)}^{2}}$。对于$y$，我们有$y={t}^{2}\ln (2-{t}^{2})$，根据导数的四则运算法则，我们得到$\dfrac {dy}{dt}=2t\ln (2-{t}^{2})-\dfrac {2{t}^{3}}{2-{t}^{3}}$。
步骤 2：求解参数方程的导数$\dfrac {dy}{dx}$
根据参数方程的导数公式，我们得到$\dfrac {dy}{dx}=\dfrac {\dfrac {dy}{dt}}{\dfrac {dx}{dt}}=\dfrac {2t\ln (2-{t}^{2})-\dfrac {2{t}^{3}}{2-{t}^{3}}}{-{e}^{-{(1-t)}^{2}}}$。
步骤 3：求解切线方程
由于曲线在点(0,0)处，我们需要找到对应的$t$值。令$x=0$，即$\left {\int }_{0}^{1-t}{e}^{-{u}^{2}}du=0 \right.$，得到$t=1$。将$t=1$代入$\dfrac {dy}{dx}$中，得到$\dfrac {dy}{dx}(0)=2$。因此，曲线在点(0,0)处的切线方程为$y=2x$。
首先，我们需要求解参数方程的导数。对于$x$，我们有$x={\int }_{0}^{1-t}{e}^{-{u}^{2}}du$，根据变上限积分的导数公式，我们得到$\dfrac {dx}{dt}=-{e}^{-{(1-t)}^{2}}$。对于$y$，我们有$y={t}^{2}\ln (2-{t}^{2})$，根据导数的四则运算法则，我们得到$\dfrac {dy}{dt}=2t\ln (2-{t}^{2})-\dfrac {2{t}^{3}}{2-{t}^{3}}$。
步骤 2：求解参数方程的导数$\dfrac {dy}{dx}$
根据参数方程的导数公式，我们得到$\dfrac {dy}{dx}=\dfrac {\dfrac {dy}{dt}}{\dfrac {dx}{dt}}=\dfrac {2t\ln (2-{t}^{2})-\dfrac {2{t}^{3}}{2-{t}^{3}}}{-{e}^{-{(1-t)}^{2}}}$。
步骤 3：求解切线方程
由于曲线在点(0,0)处，我们需要找到对应的$t$值。令$x=0$，即$\left {\int }_{0}^{1-t}{e}^{-{u}^{2}}du=0 \right.$，得到$t=1$。将$t=1$代入$\dfrac {dy}{dx}$中，得到$\dfrac {dy}{dx}(0)=2$。因此，曲线在点(0,0)处的切线方程为$y=2x$。