题目

微分方程 4y'' + 4y' + y = 0 满足初值条件 y|_(x=0) = 2，y'|_(x=0) = 0 的特解为( )；A. y = (2 - x)e^(x)/(2)B. y = (2 - x)e^-(x)/(2)C. y = (2 + x)e^(x)/(2)D. y = (2 + x)e^-(x)/(2)

微分方程 $4y'' + 4y' + y = 0$ 满足初值条件 $y|_{x=0} = 2$，$y'|_{x=0} = 0$ 的特解为( )；

A. $y = (2 - x)e^{\frac{x}{2}}$

B. $y = (2 - x)e^{-\frac{x}{2}}$

C. $y = (2 + x)e^{\frac{x}{2}}$

D. $y = (2 + x)e^{-\frac{x}{2}}$

题目解答

答案

特征方程为 $4r^2 + 4r + 1 = 0$，解得 $r = -\frac{1}{2}$（二重根）。
通解形式为 $y = (C_1 + C_2 x)e^{-\frac{x}{2}}$。
应用初值条件：

  1. $y(0) = 2$，得 $C_1 = 2$；
  2. $y'(0) = 0$，得 $C_2 = 1$。

特解为 $y = (2 + x)e^{-\frac{x}{2}}$，对应选项 D。

答案： $\boxed{D}$