题目
11、求通过直线L:(x-1)/(2)=(y+2)/(-3)=(z-2)/(2)且垂直于平面pi:3x+2y-z-5=0的平面方程.
11、求通过直线$L:\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-3}=\frac{z-2}{2}$且垂直于平面$\pi:3x+2y-z-5=0$的平面方程.
题目解答
答案
直线 $ L $ 的方向向量为 $ \mathbf{s} = (2, -3, 2) $，平面 $ \pi $ 的法向量为 $ \mathbf{n_1} = (3, 2, -1) $。所求平面的法向量 $ \mathbf{n} $ 与 $ \mathbf{s} $ 和 $ \mathbf{n_1} $ 均垂直，可由叉积得到：
\[
\mathbf{n} = \mathbf{s} \times \mathbf{n_1} = (-1, 8, 13)
\]
过直线 $ L $ 上的点 $ (1, -2, 2) $，平面方程为：
\[
-1(x - 1) + 8(y + 2) + 13(z - 2) = 0
\]
化简得：
\[
x - 8y - 13z + 9 = 0
\]
**答案：** $\boxed{x - 8y - 13z + 9 = 0}$
解析
步骤 1：确定直线 $L$ 的方向向量
直线 $L$ 的方向向量 $\mathbf{s}$ 可以从直线的参数方程中直接读出，即 $\mathbf{s} = (2, -3, 2)$。
步骤 2：确定平面 $\pi$ 的法向量
平面 $\pi$ 的法向量 $\mathbf{n_1}$ 可以从平面的方程中直接读出，即 $\mathbf{n_1} = (3, 2, -1)$。
步骤 3：计算所求平面的法向量
所求平面的法向量 $\mathbf{n}$ 与直线 $L$ 的方向向量 $\mathbf{s}$ 和平面 $\pi$ 的法向量 $\mathbf{n_1}$ 均垂直，因此 $\mathbf{n}$ 可以通过 $\mathbf{s}$ 和 $\mathbf{n_1}$ 的叉积得到： \[ \mathbf{n} = \mathbf{s} \times \mathbf{n_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -3 & 2 \\ 3 & 2 & -1 \end{vmatrix} = (-1, 8, 13) \]
步骤 4：确定所求平面的方程
所求平面通过直线 $L$ 上的点 $(1, -2, 2)$，因此平面方程为： \[ -1(x - 1) + 8(y + 2) + 13(z - 2) = 0 \] 化简得： \[ x - 8y - 13z + 9 = 0 \]
直线 $L$ 的方向向量 $\mathbf{s}$ 可以从直线的参数方程中直接读出，即 $\mathbf{s} = (2, -3, 2)$。
步骤 2：确定平面 $\pi$ 的法向量
平面 $\pi$ 的法向量 $\mathbf{n_1}$ 可以从平面的方程中直接读出，即 $\mathbf{n_1} = (3, 2, -1)$。
步骤 3：计算所求平面的法向量
所求平面的法向量 $\mathbf{n}$ 与直线 $L$ 的方向向量 $\mathbf{s}$ 和平面 $\pi$ 的法向量 $\mathbf{n_1}$ 均垂直，因此 $\mathbf{n}$ 可以通过 $\mathbf{s}$ 和 $\mathbf{n_1}$ 的叉积得到： \[ \mathbf{n} = \mathbf{s} \times \mathbf{n_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -3 & 2 \\ 3 & 2 & -1 \end{vmatrix} = (-1, 8, 13) \]
步骤 4：确定所求平面的方程
所求平面通过直线 $L$ 上的点 $(1, -2, 2)$，因此平面方程为： \[ -1(x - 1) + 8(y + 2) + 13(z - 2) = 0 \] 化简得： \[ x - 8y - 13z + 9 = 0 \]