2.设A是n阶方阵，a是n维列向量，若A^m-1a≠0 A^ma=0. 证明：向量组a，Aa，A^2a，…，A^m-1a线性无关.

本题考查向量组线性无关的证明，解题的关键思路是依据向量组线性无关的定义，通过对给定的线性组合等式进行一系列左乘矩阵的操作，逐步推导出所有系数都为零。

详细证明过程

1. 根据线性无关的定义列出等式：
   假设存在标量 $k_0, k_1, \ldots, k_{m - 1}$，使得 $k_0\alpha + k_1A\alpha + \cdots + k_{m - 1}A^{m - 1}\alpha = 0$。
2. 第一次左乘 $A^{m - 1}$ 求 $k_0$：
   对上述等式两边同时左乘 $A^{m - 1}$，根据矩阵乘法的结合律可得：
   $A^{m - 1}(k_0\alpha + k_1A\alpha + \cdots + k_{m - 1}A^{m - 1}\alpha)=A^{m - 1}0$
   $k_0A^{m - 1}\alpha + k_1A^{m}\alpha + \cdots + k_{m - 1}A^{2m - 2}\alpha = 0$
   已知 $A^{m}\alpha = 0$，那么对于 $i\geq m$，有 $A^{i}\alpha = A^{i - m}A^{m}\alpha = A^{i - m}0 = 0$。
   所以 $k_1A^{m}\alpha = k_2A^{m + 1}\alpha = \cdots = k_{m - 1}A^{2m - 2}\alpha = 0$，则上式可化简为 $k_0A^{m - 1}\alpha = 0$。
   又因为 $A^{m - 1}\alpha \neq 0$，要使等式成立，只能 $k_0 = 0$。
3. 第二次左乘 $A^{m - 2}$ 求 $k_1$：
   将 $k_0 = 0$ 代入 $k_0\alpha + k_1A\alpha + \cdots + k_{m - 1}A^{m - 1}\alpha = 0$，得到 $k_1A\alpha + k_2A^{2}\alpha + \cdots + k_{m - 1}A^{m - 1}\alpha = 0$。
   对该等式两边同时左乘 $A^{m - 2}$，同理可得：
   $A^{m - 2}(k_1A\alpha + k_2A^{2}\alpha + \cdots + k_{m - 1}A^{m - 1}\alpha)=A^{m - 2}0$
   $k_1A^{m - 1}\alpha + k_2A^{m}\alpha + \cdots + k_{m - 1}A^{2m - 3}\alpha = 0$
   由于 $A^{m}\alpha = 0$，则 $k_2A^{m}\alpha = k_3A^{m + 1}\alpha = \cdots = k_{m - 1}A^{2m - 3}\alpha = 0$，上式化简为 $k_1A^{m - 1}\alpha = 0$。
   因为 $A^{m - 1}\alpha \neq 0$，所以 $k_1 = 0$。
4. 以此类推求其他系数：
   重复上述过程，依次左乘 $A^{m - 3}, A^{m - 4}, \ldots, A$，可以逐步得到 $k_2 = k_3 = \cdots = k_{m - 1} = 0$。
5. 得出结论：
   由于只有当 $k_0 = k_1 = \cdots = k_{m - 1} = 0$ 时，$k_0\alpha + k_1A\alpha + \cdots + k_{m - 1}A^{m - 1}\alpha = 0$ 才成立，根据向量组线性无关的定义可知，向量组 $\alpha, A\alpha, \ldots, A^{m - 1}\alpha$ 线性无关。