题目
【例2.5】(2010-3)设随机变量X的分布函数F(x)=}0,x<0,1)/(2),0le x<1,1-e^-x,xge 1.=( ).
【例2.5】(2010-3)设随机变量X的分布函数$F(x)=\begin{cases}0,x<0,\\\frac{1}{2},0\le x<1,\\1-e^{-x},x\ge 1.\end{cases}$,则P{X=1}=( ).
题目解答
答案
根据分布函数的性质，$P\{X=1\} = F(1) - F(1-0)$。
已知：
\[
F(1) = 1 - e^{-1}, \quad F(1-0) = \lim_{x \to 1^-} F(x) = \frac{1}{2}
\]
因此：
\[
P\{X=1\} = (1 - e^{-1}) - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - e^{-1}
\]
答案：$\boxed{C}$
解析
本题考查随机变量分布函数的性质以及利用分布函数求某一点的概率。解题思路是根据分布函数的性质，对于离散型随机变量在某一点的概率可以通过分布函数在该点的值减去该点左极限的值来计算。
下面进行详细计算：
- 首先明确分布函数求某一点概率的公式：
- 对于随机变量$X$，$P\{X = x\}=F(x)-F(x - 0)$，其中$F(x)$是分布函数，$F(x - 0)=\lim_{t\rightarrow x^{-}}F(t)$表示$F(x)$在$x$处的左极限。
- 在本题中，要求$P\{X = 1\}$，则$P\{X 1\}=F(1)-F(1 - 0)$。
- 然后求$F(1)$的值：
- 已知分布函数$F(x)=\begin{cases}0,x\lt0\\\frac{1}{2},0\leq x\lt1\\1 - e^{-x},x\geq1\end{cases}$，当$x = 1$时，代入$F(x)=1 - e^{-x}$可得$F(1)=1 - e^{-1}$。
- 接着求$F(1 - 0)$的值：
- $F(1 - 0)=\lim_{x\rightarrow1^{-}}F(x)$，当$x$从左侧趋近于$1$时，即$0\leq x\lt1$，此时$F(x)=\frac{1}{2}$，所以$F(1 - 0)=\lim_{x\rightarrow1^{-}}F(x)=\frac{1}{2}$。
- 最后计算$P\{X = 1\}$的值：
- 将$F(1)=1 - e^{-1}$和$F(1 - 0)=\frac{1}{2}$代入$P\{X = 1\}=F(1)-F(1 - 0)$，可得$P\{X = 1\}=(1 - e^{-1})-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}-e^{-1}$。