4.计算二重积分 (iint )_(D)(x+y)dxdy ,其中 = (x,y)|{x)^2+(y)^2leqslant 1,xgeqslant 0,ygeqslant 0 .
题目解答
答案
步骤 1：确定积分区域
积分区域 $D$ 是由圆 ${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 1$ 与 $x\geqslant 0$ 和 $y\geqslant 0$ 限定的，即第一象限内的单位圆。
步骤 2：转换为极坐标
将直角坐标系下的二重积分转换为极坐标系下的二重积分。在极坐标系中，$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，$dxdy=rdrd\theta$。积分区域 $D$ 在极坐标系中表示为 $0\leqslant r\leqslant 1$ 和 $0\leqslant \theta\leqslant \frac{\pi}{2}$。
步骤 3：计算二重积分
将二重积分 ${\iint }_{1}(x+y)dxdy$ 转换为极坐标系下的二重积分 ${\iint }_{1}(r\cos\theta+r\sin\theta)rdrd\theta$，并计算该积分。
【答案】
${\iint }_{1}(x+y)dxdy = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{1}(r\cos\theta+r\sin\theta)rdrd\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{1}r^{2}(\cos\theta+\sin\theta)drd\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{3}(\cos\theta+\sin\theta)d\theta = \frac{1}{3}(\sin\theta-\cos\theta)|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{2}{3}$
解析
本题考察二重积分的计算，积分区域为第一象限的单位圆，可通过极坐标变换简化计算。
步骤1：确定积分区域
积分区域$D$是由$x^2+y^2\leq1$（单位圆）、$x\geq0$、$y\geq0$围成的第一象限部分，是一个四分之一圆。
步骤2：极坐标变换
在极坐标系中：
- $x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$
- 面积元素$dxdy=rdrd\theta$
- 积分区域$D$转化为：$0\leq r\leq1$，$0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$
步骤3：计算积分
将被积函数$x+y$转化为极坐标形式：
$x+y=r\cos\theta+r\sin\theta=r(\cos\theta+\sin\theta)$
二重积分转化为累次积分：
$的生长繁殖速度与当时的细菌数成正比。如果在4小时的细菌数从100增长到400，那么细菌数y与时间t的函数关系是（）
A：y=100e^(0.3466t)
B：y=100e^(0.6931t)
C：y=100e^(1.3863t)
D：y=100e^(0.0173t)
\[\iint_{D}(x+y)dxdy=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{1}r(\cos\theta+\sin\theta)\cdot rdrd\theta$
内层积分（对$r$积分）：
$\int_{0}^{1}r^2dr=\left[\frac{1}{3}r^3\right]_0^1=\frac{1}{3}$
外层积分（对$\theta$积分）：
$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\cos\theta+\sin\theta)d\theta=\left[\sin\theta-\cos\theta\right]_0^{\frac{\pi}{2}}=\left(1-0\right)-\left(0-1\right)=2$
总积分：
$\frac{1}{3}\times2=\frac{2}{3}$