利用极坐标计算二重积分I=iintlimits_(D)e^x^(2+y^2)dsigma，其中D是圆形闭区域x^2+y^2leq4，则I=（）A. pi(e^2-1)B. pi(e^4-1)C. e^2-1D. e^4-1

考查要点：本题主要考查二重积分在极坐标系下的计算，涉及变量代换和积分区域的转换。

解题核心思路：

1. 识别积分区域的对称性：积分区域$D$是圆$x^2 + y^2 \leq 4$，使用极坐标可简化计算。
2. 转换积分表达式：将直角坐标系下的被积函数和面积元素转换为极坐标形式。
3. 分步积分：先对$r$积分，利用变量代换简化积分，再对$\theta$积分。

破题关键点：

• 极坐标转换：正确写出$x^2 + y^2 = r^2$和$d\sigma = r \, dr \, d\theta$。
• 变量代换：对$\int e^{r^2} r \, dr$使用$u = r^2$，简化积分过程。

将二重积分转换为极坐标形式：

• 积分区域：$D$对应$r \in [0, 2]$，$\theta \in [0, 2\pi]$。
• 被积函数：$e^{x^2 + y^2} = e^{r^2}$。
• 面积元素：$d\sigma = r \, dr \, d\theta$。

积分表达式变为：
$I = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} e^{r^2} \cdot r \, dr \, d\theta$

分步计算：

1. 对$r$积分：

   • 令$u = r^2$，则$du = 2r \, dr$，即$r \, dr = \frac{1}{2} du$。
   • 积分限：$r=0 \Rightarrow u=0$，$r=2 \Rightarrow u=4$。
   • 积分结果：
     $\int_{0}^{2} e^{r^2} r \, dr = \frac{1}{2} \int_{0}^{4} e^u \, du = \frac{1}{2} (e^4 - 1)$

2. 对$\theta$积分：

   • 将$r$的积分结果代入：
     $I = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2} (e^4 - 1) \, d\theta = \frac{1}{2} (e^4 - 1) \cdot 2\pi = \pi (e^4 - 1)$

最终结果：$I = \pi (e^4 - 1)$，对应选项B。