题目

5.设X,Y是相互独立的两个随机变量，其分布函数分别为F_(X)(x),F_(Y)(y)，则Z=min(X,Y)的分布函数F_(Z)(z)=minF_{X)(x)}+minF_{Y)(y)} ( ).(2)分√×

5.设X,Y是相互独立的两个随机变量，其分布函数分别为$F_{X}(x),F_{Y}(y)$，则$Z=\min(X,Y)$的分布函数$F_{Z}(z)=\min\{F_{X}(x)\}+\min\{F_{Y}(y)\}$ ( ).(2)分 √ ×

题目解答

答案

设 $Z = \min(X, Y)$，则 $Z \leq z$ 当且仅当 $X \leq z$ 或 $Y \leq z$。利用独立性，有：

$F_Z(z) = P(Z \leq z) = 1 - P(X > z, Y > z) = 1 - [1 - F_X(z)][1 - F_Y(z)]$

展开得：

$F_Z(z) = F_X(z) + F_Y(z) - F_X(z)F_Y(z)$

而题目中给出的表达式为 $F_Z(z) = \min\{F_X(x)\} + \min\{F_Y(y)\}$，由于分布函数最小值为0，该式恒等于0，与上述结果不符。

答案： $\boxed{\times}$

解析

本题主要考察两个相互独立随机变量的最小值的分布函数的求解，关键在于利用事件的关系和独立性计算概率。

核心分析思路：

  1. 事件转化：对于$Z = \min(X,Y)$，$Z \leq z$等价于“$X \leq z$或$Y \leq z$”，其对立事件是“$X > z$且$Y > z$”。
  2. 利用独立性计算概率：
    由于$X$与$Y$独立，$P(X > z, Y > z) = P(X > z)P(Y > z)$。
    而$P(X > z) = 1 - F_X(z)$，$P(Y > z) = 1 - F_Y(z)$，因此：
    $P(Z \leq z) = 1 - [1 - F_X(z)][1 - F_Y(z)]$
  3. 展开验证：
    展开上式得：
    $F_Z(z) = F_X(z) + F_Y(z) - F_X(z)F_Y(z)$
  4. 题目表达式的错误：
    题目给出的$F_Z(z) = \min\{F_X(x)\} + \min\{F_Y(y)\}$中，$\min\{F_X(x)\}$是分布函数$F_X$的最小值（恒为0，因分布函数$F_X(x) \to 0$当$x \to -\infty$），同理$\min\{F_Y(y)\}=0$，故该式恒等于0，与正确结果完全不符。