题目
设 A 是 4 times 3 矩阵，B 是 3 times 4 非零矩阵，满足 AB = O，其中 [ A = ( t & 1 & 1 9 & t & 3 7t-18 & 7-2t & 1 9+t & 1+t & 4 ), ] 则必有 A. 当 t=3 时，r(B)=1B. 当 t neq 3 时，r(B)=1C. 当 t=3 时，r(B)=2D. 当 t neq 3 时，r(B)=2
设 $A$ 是 $4 \times 3$ 矩阵，$B$ 是 $3 \times 4$ 非零矩阵，满足 $AB = O$，其中
$A = \left(\begin{array}{cccccc} t & 1 & 1 \\ 9 & t & 3 \\ 7t-18 & 7-2t & 1 \\ 9+t & 1+t & 4 \end{array} \right),$
则必有
- A. 当 $t=3$ 时，$r(B)=1$
- B. 当 $t \neq 3$ 时，$r(B)=1$
- C. 当 $t=3$ 时，$r(B)=2$
- D. 当 $t \neq 3$ 时，$r(B)=2$
题目解答
答案
为了解决这个问题，我们需要分析给定的矩阵 $ A $ 和 $ B $ 以及条件 $ AB = O $。让我们从检查矩阵 $ A $ 开始。
矩阵 $ A $ 给定为：
\[ A = \begin{pmatrix}
t & 1 & 1 \\
9 & t & 3 \\
7t-18 & 7-2t & 1 \\
9+t & 1+t & 4
\end{pmatrix} \]
我们需要确定 $ A $ 的秩。为此，我们可以执行行操作来简化矩阵。让我们从行操作开始：
1. 从行3中减去 $ (7t-18)/t $ 倍的行1。
2. 从行4中减去 $ (9+t)/t $ 倍的行1。
在执行这些操作后，我们得到：
\[ A \sim \begin{pmatrix}
t & 1 & 1 \\
9 & t & 3 \\
0 & \frac{-2t^2 + 7t + 18 - 7t + 2t^2 - 7t + 18}{t} & \frac{7t - 18 - 7t + 18}{t} \\
0 & \frac{t^2 + 9t + t + 1 - 9 - t}{t} & \frac{4t - 9 - t - 1}{t}
\end{pmatrix} \]
\[ A \sim \begin{pmatrix}
t & 1 & 1 \\
9 & t & 3 \\
0 & \frac{36 - 7t}{t} & \frac{18 - 2t}{t} \\
0 & \frac{t^2 + 9t - 8}{t} & \frac{3t - 10}{t}
\end{pmatrix} \]
为了进一步简化，让我们考虑 $ t = 3 $ 的情况：
\[ A = \begin{pm3 & 1 & 1 \\
9 & 3 & 3 \\
3 & 1 & 1 \\
12 & 4 & 4
\end{pmatrix} \]
我们可以看到，当 $ t = 3 $ 时，行2、3和4是行1的倍数。因此，当 $ t = 3 $ 时，$ A $ 的秩为1。
现在，让我们考虑 $ t \neq 3 $ 的情况。我们可以继续行操作来确定 $ A $ 的秩。然而，一个更简单的方法是注意到 $ A $ 的行列式为零，因为 $ A $ 是一个 $ 4 \times 3 $ 矩阵，其秩最多为3。由于 $ AB = O $ 且 $ B $ 是一个 $ 3 \times 4 $ 非零矩阵，$ B $ 的秩必须小于4。 $ B $ 的秩可以是1或2。
为了确定 $ B $ 的秩，我们使用 $ A $ 的秩和 $ B $ 的秩之和必须小于或等于 $ A $ 的列数加上 $ B $ 的行数减去 $ A $ 的列数，即 $ 4 $。由于 $ A $ 的秩为2当 $ t \neq 3 $ 时， $ B $ 的秩必须为1。
因此，正确答案是：
\[
\boxed{B}
\]
解析
考查要点：本题主要考查矩阵的秩、矩阵乘法的性质以及齐次线性方程组解的结构。关键在于通过分析矩阵$A$的秩，结合$AB=O$的条件，确定矩阵$B$的秩。
解题核心思路：
- 矩阵秩的分析：通过行变换确定矩阵$A$在不同$t$值下的秩。
- 零空间维数：根据秩-零化度定理，零空间维数为$3 - r(A)$，而$B$的列向量属于该零空间。
- 矩阵$B$的秩限制：$B$的秩不超过零空间维数，且$B$非零，因此需结合$r(A)$判断$r(B)$。
破题关键点：
- 当$t=3$时，矩阵$A$的秩为1，零空间维数为2，此时$B$的秩可能为1或2。
- 当$t \neq 3$时，矩阵$A$的秩为2，零空间维数为1，此时$B$的秩必为1。
矩阵$A$的秩分析
-
当$t=3$时：
$A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 9 & 3 & 3 \\ 3 & 1 & 1 \\ 12 & 4 & 4 \end{pmatrix}$
所有行均为第一行的倍数，故$r(A)=1$。 -
当$t \neq 3$时：
- 通过行变换可得，矩阵$A$的前两行线性无关，第三、四行可表示为前两行的线性组合，故$r(A)=2$。
矩阵$B$的秩分析
- 当$t=3$时：零空间维数为$3 - 1 = 2$，$B$的秩可能为1或2。
- 当$t \neq 3$时：零空间维数为$3 - 2 = 1$，$B$的秩必为1（因$B$非零）。