题目
定积分(int )_(-4)^4((e)^(x^2)sin x+2)dx=( )(int )_(-4)^4((e)^(x^2)sin x+2)dx=( )
定积分
题目解答
答案
由题意得，定积分
转化为
，因为
为奇函数，所以根据对称区间上定积分的性质：设
，若
，则
，得到
，进而得到
，因此本题答案选
。
解析
步骤 1：将定积分分解
将定积分${\int }_{-4}^{4}({e}^{{x}^{2}}\sin x+2)dx$分解为${\int }_{-4}^{4}{e}^{{x}^{2}}\sin xdx+{\int }_{-4}^{4}2dx$。
步骤 2：分析奇函数的性质
注意到${e}^{{x}^{2}}\sin x$是一个奇函数，即$f(-x)=-f(x)$。根据对称区间上定积分的性质，奇函数在对称区间上的定积分为0，即${\int }_{-4}^{4}{e}^{{x}^{2}}\sin xdx=0$。
步骤 3：计算常数项的定积分
计算${\int }_{-4}^{4}2dx$，这是一个常数项的定积分，结果为$2x$在$-4$到$4$的差值，即$2(4)-2(-4)=8+8=16$。
将定积分${\int }_{-4}^{4}({e}^{{x}^{2}}\sin x+2)dx$分解为${\int }_{-4}^{4}{e}^{{x}^{2}}\sin xdx+{\int }_{-4}^{4}2dx$。
步骤 2：分析奇函数的性质
注意到${e}^{{x}^{2}}\sin x$是一个奇函数，即$f(-x)=-f(x)$。根据对称区间上定积分的性质，奇函数在对称区间上的定积分为0，即${\int }_{-4}^{4}{e}^{{x}^{2}}\sin xdx=0$。
步骤 3：计算常数项的定积分
计算${\int }_{-4}^{4}2dx$，这是一个常数项的定积分，结果为$2x$在$-4$到$4$的差值，即$2(4)-2(-4)=8+8=16$。