题目

将3个球随机地放人4个杯子中,求杯-|||-子中球的最大个数分别为1,2,3的概-|||-率。

$\begin {aligned} &将 3 个球随机地放人 4 个杯子中, 求杯\\&子中球的最大个数分别为 1,2,3 的概\\&率。 \end {aligned}$

题目解答

答案

$\begin {aligned} &问题描述中有 3 个球和 4 个杯子。我们\\&需要求出每个杯子中球的最大个数分\\&别为 1、2 和 3 的概率。 \\ &首先，我们需要确定可能的球的分配\\&方式。在这个问题中，每个球都有\\& 4 个选择，即放入 4 个杯子中的任意一\\&个。因此，总的可能性为 4^3 = 64。 \end {aligned}$ $\begin {aligned} &接下来，我们计算球的分配方式中，\\&每个杯子中球的最大个数为 1 的情况\\&。这意味着每个杯子中最多只能放入\\&一个球。这种情况下，我们有以下\\& 4 种可能的分配方式： \\ &1. 球全部放入一个杯子中，其他杯子\\&为空。 \end {aligned}$ $\begin {aligned} &2. 两个杯子各放一个球，另外两个杯\\&子为空。 \\ &3. 三个杯子各放一个球，另外一个杯\\&子为空。 \\ &4. 四个杯子各放一个球，没有杯子为\\&空。 \\ &对于这些分配方式，我们可以计算每\\&种方式的概率。每个球有 4 个选择，\\&所以第一种方式的概率为 (\frac{1}{4})^3 = \frac{1}{64}。\\&第二种方式有 3 种球的选择方式，所\\&以概率为 3 \times (\frac{1}{4})^3 = \frac{3}{64}。第三种方式\\&有 3 种球的选择方式，所以概率为\\& 3 \times (\frac{1}{4})^3 = \frac{3}{64}。\\&第四种方式只有一种球的\\&选择方式，所以概率为 (\frac{1}{4})^3 = \frac{1}{64}。将\\&这些概率相加，得到球的最大个数为\\& 1 的概率为 \frac{1}{64} + \frac{3}{64} + \frac{3}{64} + \frac{1}{64} = \frac{8}{64} \\&= \frac{1}{8}。\\& \end {aligned}$ $\begin {aligned} &接下来，我们计算球的分配方式中，\\&每个杯子中球的最大个数为 2 的情况\\&。这意味着至少有一个杯子中放入了\\& 2 个球，但没有杯子中放入 3 个球。我\\&们可以考虑两种情况： \\ &1. 有一个杯子中放入了 2 个球，其他\\&杯子都为空。 \end {aligned}$ $\begin {aligned} &2. 有两个杯子各放入了 1 个球，另外\\&两个杯子为空。 \\ &对于第一种情况，有 4 种选择，其中\\&一个杯子中有 2 个球的概率为 (\frac{1}{4})^2 =\\& \frac{1}{16}。对于第二种情况，首先选择两个\\&杯子，共有 \binom{4}{2} = 6 种选择方式。\\&然后，将两个球放入这两 \end {aligned}$ $\begin {aligned} &个杯子中的概率为 (\frac{1}{4})^2 \times (\frac{1}{3})^1 = \frac{1}{48}。\\&所以，第二种情况的概率为 6 \times \frac{1}{48} =\\& \frac{1}{8}。将两种情况的概率相加，得到球\\&的最大个数为 2 的概率为 \frac{1}{16} + \frac{1}{8} =\\& \frac{3}{16}。 \\ &最后，我们计算球的分配方式中，每\\&个杯子中球的最大个数为 3 的情况。\\&这意味着至少有一个杯子中放入了\\& 3 个球，但没有杯子中放入 4 个球。只\\&有一种情况满足这个条件，即有一个\\&杯子中放入了 3 个球，其他杯子都为\\&空。这种情况的概率为 (\frac{1}{4})^3 = \frac{1}{64}。 \end {aligned}$ $\begin {aligned} &综上所述，球的最大个数分别为 1、\\&2 和 3 的概率分别为 \frac{1}{8}、\frac{3}{16} 和 \frac{1}{64}。 \end {aligned}$