[例8](2017,数二)设二阶可导函数f(x)满足 f(1)=f(-1)=1 (0)=-1, 且-|||-''(x)gt 0, 则-|||-(A) (int )_(-1)^1f(x)dxgt 0. (B) (int )_(-1)^1f(x)dxlt 0.-|||-(C) (int )_(-1)^0f(x)dxgt (int )_(0)^1f(x)dx. (D) (int )_(-1)^0f(x)dxlt (int )_(0)^1f(x)dx. 【B】

考查要点：本题主要考查函数的凹凸性与积分性质的综合应用，需要结合函数图像的几何特征分析积分值的正负。

解题核心思路：

1. 凹凸性分析：由$f''(x) > 0$可知，函数$f(x)$在区间$[-1,1]$上是凹向上的，即图像形状类似“∩”型。
2. 关键点分析：已知$f(-1)=f(1)=1$，$f(0)=-1$，说明函数在$x=0$处取得极小值，两侧向两端点上升。
3. 积分性质：积分$\int_{-1}^{1}f(x)dx$的正负取决于函数在区间内的正负区域面积代数和。通过分析函数图像与$x$轴的交点，判断正负区域的面积大小关系。

破题关键点：

• 凹向上函数在$x=0$处最低，两侧对称上升，但中间负面积可能更大。
• 构造特例函数（如二次函数）验证积分结果，推广到一般情况。

函数图像分析

1. 凹凸性：$f''(x) > 0$说明$f(x)$在区间$[-1,1]$上凹向上，图像类似“∩”型。
2. 极值点：$x=0$是极小值点，$f(0)=-1$，两侧$f(-1)=f(1)=1$，函数从两端点向中间下降。
3. 零点分布：函数在区间$(-1,0)$和$(0,1)$各有一个零点，将积分区间分为三段：
   • $[-1, a)$：$f(x) > 0$（正面积）
   • $(a, b)$：$f(x) < 0$（负面积）
   • $(b, 1]$：$f(x) > 0$（正面积）

积分比较

1. 特例验证：构造二次函数$f(x)=2x^2-1$（满足所有条件），计算积分：
   $\int_{-1}^{1}(2x^2-1)dx = \left[\frac{2}{3}x^3 - x\right]_{-1}^{1} = -\frac{2}{3} < 0$
   说明正区域面积总和小于负区域面积总和。
2. 一般情况：凹向上函数在中间区域下降幅度较大，导致负面积占比更大，整体积分必然小于$0$。