题目
[例8](2017,数二)设二阶可导函数f(x)满足 f(1)=f(-1)=1 (0)=-1, 且-|||-''(x)gt 0, 则-|||-(A) (int )_(-1)^1f(x)dxgt 0. (B) (int )_(-1)^1f(x)dxlt 0.-|||-(C) (int )_(-1)^0f(x)dxgt (int )_(0)^1f(x)dx. (D) (int )_(-1)^0f(x)dxlt (int )_(0)^1f(x)dx. 【B】
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析函数性质
由于 $f''(x) > 0$，说明函数 $f(x)$ 是凹函数。凹函数的性质是，其二阶导数大于零，意味着函数的斜率是递增的，即函数的图像在任意两点之间是凹向下的。
步骤 2：确定函数图像
根据题目条件 $f(1) = f(-1) = 1$ 和 $f(0) = -1$，可以确定函数在 $x = 0$ 处有一个局部极小值，且在 $x = 1$ 和 $x = -1$ 处有相同的函数值。结合凹函数的性质，可以大致画出函数的图像，它在 $x = 0$ 处有一个凹陷的谷底，而在 $x = 1$ 和 $x = -1$ 处有相同的函数值。
步骤 3：计算积分
根据函数的图像，可以观察到在 $x = -1$ 到 $x = 1$ 的区间内，函数 $f(x)$ 的图像在 $x$ 轴下方的面积大于在 $x$ 轴上方的面积。因此，${\int }_{-1}^{1}f(x)dx$ 的值为负，即 ${\int }_{-1}^{1}f(x)dx < 0$。
步骤 4：比较两个积分
由于函数 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处有局部极小值，且在 $x = 1$ 和 $x = -1$ 处有相同的函数值，可以推断出在 $x = -1$ 到 $x = 0$ 的区间内，函数 $f(x)$ 的图像在 $x$ 轴下方的面积大于在 $x = 0$ 到 $x = 1$ 的区间内。因此，${\int }_{-1}^{0}f(x)dx < {\int }_{0}^{1}f(x)dx$。
由于 $f''(x) > 0$，说明函数 $f(x)$ 是凹函数。凹函数的性质是，其二阶导数大于零，意味着函数的斜率是递增的，即函数的图像在任意两点之间是凹向下的。
步骤 2：确定函数图像
根据题目条件 $f(1) = f(-1) = 1$ 和 $f(0) = -1$，可以确定函数在 $x = 0$ 处有一个局部极小值，且在 $x = 1$ 和 $x = -1$ 处有相同的函数值。结合凹函数的性质，可以大致画出函数的图像，它在 $x = 0$ 处有一个凹陷的谷底，而在 $x = 1$ 和 $x = -1$ 处有相同的函数值。
步骤 3：计算积分
根据函数的图像，可以观察到在 $x = -1$ 到 $x = 1$ 的区间内，函数 $f(x)$ 的图像在 $x$ 轴下方的面积大于在 $x$ 轴上方的面积。因此，${\int }_{-1}^{1}f(x)dx$ 的值为负，即 ${\int }_{-1}^{1}f(x)dx < 0$。
步骤 4：比较两个积分
由于函数 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处有局部极小值，且在 $x = 1$ 和 $x = -1$ 处有相同的函数值，可以推断出在 $x = -1$ 到 $x = 0$ 的区间内，函数 $f(x)$ 的图像在 $x$ 轴下方的面积大于在 $x = 0$ 到 $x = 1$ 的区间内。因此，${\int }_{-1}^{0}f(x)dx < {\int }_{0}^{1}f(x)dx$。