求函数y=xe^-x的单调区间.

考查要点：本题主要考查利用导数求函数的单调区间，涉及导数的计算和导数符号分析。

解题核心思路：

1. 求导：对函数$y = x e^{-x}$使用乘积法则求导，得到$y' = e^{-x}(1 - x)$。
2. 分析导数符号：由于$e^{-x} > 0$恒成立，导数的符号由$(1 - x)$决定。
3. 确定单调区间：根据导数的正负，划分函数的单调递增和递减区间。

破题关键点：

• 正确应用乘积法则计算导数。
• 利用指数函数的正性简化导数符号分析。
• 临界点$x=1$是单调性变化的分界点。

1. 求导：
   函数$y = x e^{-x}$由$x$和$e^{-x}$相乘构成，使用乘积法则：
   $y' = \frac{d}{dx}(x) \cdot e^{-x} + x \cdot \frac{d}{dx}(e^{-x}) = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) = e^{-x}(1 - x).$

2. 分析导数符号：

   • $e^{-x}$恒正：无论$x$取何值，$e^{-x} > 0$。
   • 导数符号由$(1 - x)$决定：
     • 当$1 - x > 0$（即$x < 1$）时，$y' > 0$，函数单调递增。
     • 当$1 - x < 0$（即$x > 1$）时，$y' < 0$，函数单调递减。

3. 确定单调区间：

   • 递增区间：$(-\infty, 1)$。
   • 递减区间：$(1, +\infty)$。