9.(填空题，4.0分)|}a_(11)&a_(12)&a_(13)a_(21)&a_(22)&a_(23)a_(31)&a_(32)&a_(33)|=3.|}-3a_(21)&-3a_(22)&-3a_(23)a_(11)&a_(12)&a_(13)a_(31)+2a_(11)&a_(32)+2a_(12)&a_(33)+2a_(13)|=第1空

为了解决这个问题，我们需要利用行列式的性质来简化给定的行列式。给定的条件是： \[ \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right| = 3 \] 我们需要计算的行列式是： \[ \left| \begin{matrix} -3a_{21} & -3a_{22} & -3a_{23} \\ a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{31} + 2a_{11} & a_{32} + 2a_{12} & a_{33} + 2a_{13} \end{matrix} \right| \] ### 步骤1：提取公因子 首先，我们可以从第一行提取公因子 $-3$： \[ \left| \begin{matrix} -3a_{21} & -3a_{22} & -3a_{23} \\ a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{31} + 2a_{11} & a_{32} + 2a_{12} & a_{33} + 2a_{13} \end{matrix} \right| = -3 \left| \begin{matrix} a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{31} + 2a_{11} & a_{32} + 2a_{12} & a_{33} + 2a_{13} \end{matrix} \right| \] ### 步骤2：行变换 接下来，我们对第三行进行行变换，将 $2a_{11}$、$2a_{12}$ 和 $2a_{13}$ 提取出来： \[ \left| \begin{matrix} a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{31} + 2a_{11} & a_{32} + 2a_{12} & a_{33} + 2a_{13} \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right| + 2 \left| \begin{matrix} a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{11} & a_{12} & a_{13} \end{matrix} \right| \] ### 步骤3：简化行列式 注意到第二个行列式中，第三行和第二行相同，因此这个行列式的值为0： \[ \left| \begin{matrix} a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{11} & a_{12} & a_{13} \end{matrix} \right| = 0 \] 因此，我们有： \[ \left| \begin{matrix} a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{31} + 2a_{11} & a_{32} + 2a_{12} & a_{33} + 2a_{13} \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right| \] ### 步骤4：代入已知值 根据题目给定的条件： \[ \left| \begin{matrix} a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right| = 3 \] 因此： \[ \left| \begin{matrix} a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{31} + 2a_{11} & a_{32} + 2a_{12} & a_{33} + 2a_{13} \end{matrix} \right| = 3 \] ### 最终答案 将上述结果代入第一步的提取公因子： \[ -3 \left| \begin{matrix} a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{31} + 2a_{11} & a_{32} + 2a_{12} & a_{33} + 2a_{13} \end{matrix} \right| = -3 \times 3 = -9 \] 因此，最终答案是： \[ \boxed{-9} \]