题目

已知sum_(n=1)^infty (1)/(n^2) = (pi^2)/(6)，则以下运算错误的是(）. A. sum_(n=1)^infty (sqrt(n+1)-sqrt(n))/(sqrt(n^2+n)) = sum_(n=1)^infty (1)/(sqrt(n)) - sum_(n=1)^infty (1)/(sqrt(n+1))B. sum_(n=1)^infty (1)/(n(n+1)) = lim_(n to infty) sum_(k=1)^n ((1)/(k) - (1)/(k+1))= 1C. sum_(n=1)^infty (1)/((n+1)^2) = (pi^2)/(6) - 1D. sum_(n=1)^infty (1)/(n^2(n+1)) = sum_(n=1)^infty (1)/(n^2) - sum_(n=1)^infty (1)/(n(n+1)) = (pi^2)/(6) - 1

已知$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$，则以下运算错误的是(）.

  • A. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n^2+n}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n+1}}$
  • B. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1})= 1$
  • C. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)^2} = \frac{\pi^2}{6} - 1$
  • D. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2(n+1)} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = \frac{\pi^2}{6} - 1$

题目解答

答案

答案：A

解析：

  • 选项A：
    左边化简为 $\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n+1}} \right)$，为收敛的望远级数，但拆分为两个发散级数，不合法。

  • 选项B：
    使用部分分式得 $\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$，收敛到1，正确。

  • 选项C：
    平移索引得 $\sum_{m=2}^{\infty} \frac{1}{m^2} = \frac{\pi^2}{6} - 1$，正确。

  • 选项D：
    部分分式分解后拆分收敛级数，结果为 $\frac{\pi^2}{6} - 1$，正确。

答案：A（拆分发散级数不合法）

解析

本题主要考查无穷级数的运算性质，包括级数的拆分、部分分式分解以及级数的收敛性判断。解题的关键在于明确级数运算的规则，即只有收敛级数才能进行拆分运算，同时要掌握常见级数的求和方法，如部分分式分解和利用已知级数的值进行计算。

选项A

  • 首先对$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{\sqrt{n^2 + n}}$进行化简：
    • 对分子分母进行分析，$\sqrt{n^2 + n}=\sqrt{n(n + 1)}$，则$\frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{\sqrt{n^2 + n}}=\frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{\sqrt{n}\sqrt{n + 1}}$。
    • 进一步化简可得$\frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{\sqrt{n}\sqrt{n + 1}}=\frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$，所以$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{\sqrt{n^2 + n}}=\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}} \right)$。
    • 对于$\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}} \right)$，这是一个收敛的伸缩级数（或称裂项相消级数），其前$n$项和$S_n=\left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}\right)=1 - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$，当$n\to\infty$时，$\lim_{n\to\infty}S_n = 1$，所以该级数收敛。
    • 然而，$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$和$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$都是$p=\frac{1}{2}\lt1$的$p$ - 级数，根据$p$ - 级数的性质可知它们都是发散的。
    • 根据级数运算规则，只有收敛级数才能进行拆分运算，所以将$\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}} \right)$拆分为$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$是不合法的，该选项运算错误。

选项B

  • 对$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n + 1)}$使用部分分式分解：
    • 设$\frac{1}{n(n + 1)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n + 1}$，通分可得$1 = A(n + 1) + Bn$。
    • 令$n = 0$，得$A = 1$；令$n = -1$，得$B = -1$，所以$\frac{1}{n(n + 1)}=\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$。
    • 则$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n + 1)}=\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} \right)$，其前$n$项和$S_n=\left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}\right)=1 - \frac{1}{n + 1}$。
    • 当$n\to\infty$时，$\lim_{n\to\infty}S_n = \lim_{n\to\infty}\left(1 - \frac{1}{n + 1}\right)=1$，所以该选项运算正确。

选项C

  • 对于$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n + 1)^2}$，进行索引平移：
    • 令$m = n + 1$，当$n = 1$时，$m = 2$，则$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n + 1)^2}=\sum_{m=2}^{\infty} \frac{1}{m^2}$。
    • 已知$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$，那么$\sum_{m=2}^{\infty} \frac{1}{m^2}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} - 1=\frac{\pi^2}{6} - 1$，所以该选项运算正确。

选项D

  • 对$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2(n + 1)}$进行部分分式分解：
    • 设$\frac{1}{n^2(n + 1)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n^2}+\frac{C}{n + 1}$，通分可得$1 = An(n + 1) + B(n + 1) + Cn^2$。
    • 令$n = 0$，得$B = 1$；令$n = -1$，得$C = 1$；将$B = 1$，$C = 1$代入并比较$n^2$的系数，可得$A + C = 0$，则$A = -1$，所以$\frac{1}{n^2(n + 1)}=-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n + 1}$。
    • 则$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2(n + 1)}=\sum_{n=1}^{\infty} \left(-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n + 1}\right)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n + 1)}$。
    • 由前面计算可知$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$，$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n + 1)} = 1$，所以$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2(n + 1)}=\frac{\pi^2}{6} - 1$，该选项运算正确。