题目
题型说明：每空3分，共30分17.（3.0分）lim_(xtoinfty)(1+(1)/(x))^x=____
题型说明：每空3分，共30分
17.（3.0分）$\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^{x}=$____
题目解答
答案
设 $y = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$，取对数得 $\ln y = x \ln \left(1 + \frac{1}{x}\right)$。令 $t = \frac{1}{x}$，则当 $x \to \infty$ 时，$t \to 0$，故
\[
\lim_{x \to \infty} \ln y = \lim_{t \to 0} \frac{\ln (1 + t)}{t} = 1 \quad \text{(由泰勒展开或洛必达法则)}.
\]
因此，$\lim_{x \to \infty} y = e^1 = e$。答案为 $\boxed{e}$。
解析
本题考查重要极限的计算，解题思路是通过对数变换将指数形式转化为乘积形式，再利用等价无穷小或洛必达法则求出极限，最后根据对数函数的性质得到原极限的值。
- 设$y = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$，对等式两边取自然对数，根据对数的运算法则$\ln a^b = b\ln a$，可得$\ln y = x \ln \left(1 + \frac{1}{x}\right)$。
- 令$t = \frac{1}{x}$，当$x \to \infty$时，$t \to 0$，则$\lim_{x \to \infty} \ln y$可转化为$\lim_{t \to 0} \frac{\ln (1 + t)}{t}$。
- 求$\lim_{t \to 0} \frac{\ln (1 + t)}{t}$的值：
- 方法一：利用等价无穷小
当$t \to 0$时，$\ln(1 + t)\sim t$，所以$\lim_{t \to 0} \frac{\ln (1 + t)}{t}=\lim_{t \to 0} \frac{t}{t}=1$。 - 方法二：利用洛必达法则
洛必达法则是指在一定条件下，函数$\frac{f(t)}{g(t)}$在某点的极限等于$\frac{f^\prime(t)}{g^\prime(t)}$在该点的极限。
对$\frac{\ln (1 + t)}{t}$分子分母分别求导，根据求导公式$(\ln(1 + t))^\prime=\frac{1}{1 + t}$，$(t)^\prime = 1$，可得$\lim_{t \to 0} \frac{\ln (1 + t)}{t}=\lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{1 + t}}{1}=\lim_{t \to 0} \frac{1}{1 + t}=1$。
- 方法一：利用等价无穷小
- 因为$\lim_{x \to \infty} \ln y = 1$，且对数函数$y = \ln x$与指数函数$y = e^x$互为反函数，所以$\lim_{x \to \infty} y = e^{\lim_{x \to \infty} \ln y}=e^1 = e$，即$\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^{x}=e$。