题目
(3)在区间(0,1)中随机取两数,则事件"两数之和大于 dfrac (2)(3)"的概率是 () .-|||-A. dfrac (1)(3) B. dfrac (7)(9) C. dfrac (2)(3) D. dfrac (2)(9)-|||-A A-|||-B B-|||-C C-|||-D D
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义随机变量
设在区间(0,1)中随机取的两个数分别为 $x$ 和 $y$，则 $x$ 和 $y$ 都是(0,1)区间上的均匀分布随机变量。
步骤 2：确定事件
事件 "两数之和大于 $\dfrac{2}{3}$" 可以表示为 $x + y > \dfrac{2}{3}$。
步骤 3：计算概率
在(0,1)区间上，$x$ 和 $y$ 的联合概率密度函数为 $f(x,y) = 1$，因为它们是均匀分布的。我们需要计算满足 $x + y > \dfrac{2}{3}$ 的区域的面积占整个(0,1)×(0,1)正方形面积的比例。
步骤 4：计算区域面积
在(0,1)×(0,1)正方形中，$x + y > \dfrac{2}{3}$ 的区域是一个三角形，其顶点为 $(\dfrac{2}{3},0)$, $(1,0)$, $(1,1)$ 和 $(0,1)$。这个三角形的面积可以通过计算整个正方形的面积减去不满足条件的三角形的面积来得到。不满足条件的三角形的顶点为 $(0,0)$, $(\dfrac{2}{3},0)$ 和 $(0,\dfrac{2}{3})$，其面积为 $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{3} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{9}$。因此，满足条件的区域面积为 $1 - \dfrac{2}{9} = \dfrac{7}{9}$。
步骤 5：计算概率
由于 $x$ 和 $y$ 的联合概率密度函数为 $1$，所以满足条件的区域面积即为所求概率。因此，事件 "两数之和大于 $\dfrac{2}{3}$" 的概率为 $\dfrac{7}{9}$。
设在区间(0,1)中随机取的两个数分别为 $x$ 和 $y$，则 $x$ 和 $y$ 都是(0,1)区间上的均匀分布随机变量。
步骤 2：确定事件
事件 "两数之和大于 $\dfrac{2}{3}$" 可以表示为 $x + y > \dfrac{2}{3}$。
步骤 3：计算概率
在(0,1)区间上，$x$ 和 $y$ 的联合概率密度函数为 $f(x,y) = 1$，因为它们是均匀分布的。我们需要计算满足 $x + y > \dfrac{2}{3}$ 的区域的面积占整个(0,1)×(0,1)正方形面积的比例。
步骤 4：计算区域面积
在(0,1)×(0,1)正方形中，$x + y > \dfrac{2}{3}$ 的区域是一个三角形，其顶点为 $(\dfrac{2}{3},0)$, $(1,0)$, $(1,1)$ 和 $(0,1)$。这个三角形的面积可以通过计算整个正方形的面积减去不满足条件的三角形的面积来得到。不满足条件的三角形的顶点为 $(0,0)$, $(\dfrac{2}{3},0)$ 和 $(0,\dfrac{2}{3})$，其面积为 $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{3} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{9}$。因此，满足条件的区域面积为 $1 - \dfrac{2}{9} = \dfrac{7}{9}$。
步骤 5：计算概率
由于 $x$ 和 $y$ 的联合概率密度函数为 $1$，所以满足条件的区域面积即为所求概率。因此，事件 "两数之和大于 $\dfrac{2}{3}$" 的概率为 $\dfrac{7}{9}$。