13.[判断题]方向导数是偏导数的一般形式。A. 对B. 错

本题考查方向导数与偏导数的关系这一知识点。解题思路是明确方向导数和偏导数的定义，通过对比两者的定义来判断方向导数是否为偏导数的一般形式。

1. 明确偏导数的定义

设函数 $\(z = f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)) 的某一邻域内有定义，当 \(y$ 固定在 $y_0$ 而 $x$ 在 $x_0$ 处有增量 $\Delta x$ 时，相应地函数有增量 $f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)$；如果 $\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$ 存在，则称此极限为函数 $z = f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处对 $x$ 的偏导数，记作 $\frac{\partial z}{\partial x}\big|_{(x_0,y_0)}$ 等。同理可定义对 $y$ 方向的偏导数。偏导数是函数沿着坐标轴方向的变化率。

2. 明确方向导数的定义

设函数 $z = f(x,y)$ 在点 $P(x,y)$ 的某一邻域 $U(P)$ 内有定义，自点 $P$ 引射线 $l$，设 $x$ 轴正向到射线 $l$ 的转角为 $\alpha$， $P'(x+\Delta x,y + \Delta y)$ 为 $l$ 上的另一点且含于 $U(P)$，若极限 $\lim\limits_{\rho\to0}\frac{f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\rho}$ 存在（其中 $\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$），则称此极限为函数 $f(x,y)$ 在点 $P$ 沿方向 $l$ 的方向导数，记作 $\frac{\partial f}{\partial l}\big|_{(x,y)})$。方向导数是函数沿着任意指定方向的变化率。

3. 对比两者关系

当方向 $l$ 为 $x$ 轴正方向时，$\alpha = 0$，$\Delta x=\rho$，$\Delta y = 0$，此时方向导数 $\frac{\partial f}{\partial l}\big|_{(x,y)}=\lim\limits_{\rho\to0}\frac{f(x+\rho,y)-f(x,y{y})}{\rho}=\frac{\partial f}{\partial x}\big|_{(x,y)}$；当方向 $l$ 为 $x$ 轴负方向时，$\alpha=\pi$，$\Delta x=-\rho$，$\Delta y = 0$，此时方向导数 $\frac{\partial f}{\partial l}\big|_{(x,y)}=\lim\limits_{\rho\to0}\frac{f(x - \rho,y)-f(x,y)}{-\rho}=\frac{\partial f}{\partial x}\big|_{(x,y)}$。同理对于 $y$ 轴方向也有类似结论。这表明偏导数是方向导数在坐标轴方向上的特殊情况，所以方向导数是偏导数的一般形式。