(2) lim _(xarrow 0)[ dfrac (1)(ln (1+{tan )^2x)}-dfrac (1)(ln (1+{x)^2)}]

步骤 1：利用等价无穷小替换
当 $x \rightarrow 0$ 时，$\ln(1 + u) \sim u$，其中 $u$ 是 $x$ 的高阶无穷小。因此，$\ln(1 + \tan^2 x) \sim \tan^2 x$ 和 $\ln(1 + x^2) \sim x^2$。
步骤 2：代入等价无穷小
将 $\ln(1 + \tan^2 x)$ 和 $\ln(1 + x^2)$ 替换为 $\tan^2 x$ 和 $x^2$，得到：
$\lim _{x\rightarrow 0}[ \dfrac {1}{\tan^2 x}-\dfrac {1}{x^2}] $
步骤 3：化简表达式
将表达式化简为：
$\lim _{x\rightarrow 0} \dfrac {x^2 - \tan^2 x}{x^2 \tan^2 x} $
步骤 4：利用泰勒展开
当 $x \rightarrow 0$ 时，$\tan x = x + \dfrac{x^3}{3} + o(x^3)$，因此 $\tan^2 x = x^2 + \dfrac{2x^4}{3} + o(x^4)$。
步骤 5：代入泰勒展开
将 $\tan^2 x$ 替换为 $x^2 + \dfrac{2x^4}{3} + o(x^4)$，得到：
$\lim _{x\rightarrow 0} \dfrac {x^2 - (x^2 + \dfrac{2x^4}{3} + o(x^4))}{x^2 (x^2 + \dfrac{2x^4}{3} + o(x^4))} $
步骤 6：化简表达式
将表达式化简为：
$\lim _{x\rightarrow 0} \dfrac {-\dfrac{2x^4}{3} + o(x^4)}{x^4 + \dfrac{2x^6}{3} + o(x^6)} $
步骤 7：提取公因子
提取公因子 $x^4$，得到：
$\lim _{x\rightarrow 0} \dfrac {-\dfrac{2}{3} + o(1)}{1 + \dfrac{2x^2}{3} + o(x^2)} $
步骤 8：计算极限
当 $x \rightarrow 0$ 时，$o(1)$ 和 $o(x^2)$ 都趋于 0，因此：
$\lim _{x\rightarrow 0} \dfrac {-\dfrac{2}{3} + o(1)}{1 + \dfrac{2x^2}{3} + o(x^2)} = -\dfrac{2}{3} $