题目
2.三阶行列式D的第1行元素为3,-1,5，它们的代数余子式分别为4,1,7,则D的值为underline(填空1)].
2.三阶行列式D的第1行元素为3,-1,5，它们的代数余子式分别为4,1,7,则D的值为$\underline{填空1}]$.
题目解答
答案
为了求解三阶行列式 $ D $ 的值，我们使用行列式按行展开的性质。行列式 $ D $ 的第1行元素为 $ 3, -1, 5 $，它们的代数余子式分别为 $ 4, 1, 7 $。根据行列式按行展开的公式，我们有：
\[
D = a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} + a_{13}A_{13}
\]
其中 $ a_{11} = 3 $, $ a_{12} = -1 $, $ a_{13} = 5 $, $ A_{11} = 4 $, $ A_{12} = 1 $, $ A_{13} = 7 $。将这些值代入公式，我们得到：
\[
D = 3 \cdot 4 + (-1) \cdot 1 + 5 \cdot 7
\]
首先，我们计算每个乘积：
\[
3 \cdot 4 = 12
\]
\[
(-1) \cdot 1 = -1
\]
\[
5 \cdot 7 = 35
\]
接下来，我们将这些结果相加：
\[
D = 12 - 1 + 35 = 46
\]
因此，行列式 $ D $ 的值为 $\boxed{46}$.
解析
考查要点：本题主要考查行列式按行展开的性质，即利用元素与其对应的代数余子式乘积之和来计算行列式的值。
解题核心思路：根据行列式展开定理，三阶行列式的值等于某一行元素与其对应的代数余子式乘积之和。题目已给出第一行的元素及其代数余子式，直接代入公式即可求解。
破题关键点：明确代数余子式的定义及行列式展开的公式，避免符号错误，并正确进行代数运算。
根据行列式按行展开的公式，三阶行列式 $D$ 的值可表示为：
$D = a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} + a_{13}A_{13}$
其中：
- 第一行元素为 $a_{11}=3$，$a_{12}=-1$，$a_{13}=5$
- 对应的代数余子式为 $A_{11}=4$，$A_{12}=1$，$A_{13}=7$
代入公式计算：
$D = 3 \cdot 4 + (-1) \cdot 1 + 5 \cdot 7$
分步计算：
- $3 \cdot 4 = 12$
- $(-1) \cdot 1 = -1$
- $5 \cdot 7 = 35$
求和：
$D = 12 - 1 + 35 = 46$