题目
2.设f(x)在 x=0 的邻域内有定义, (0)=1, 且 lim _(xarrow 0)dfrac (ln (1+2x)-2xf(x))({x)^2}=0-|||-则f(x)在 x=0 处 () .-|||-(A)可导,且 '(0)=0 (B)可导,且 '(0)=-1-|||-(C)可导,且 '(0)=2 (D)不可导
题目解答
答案
解析
步骤 1：利用泰勒公式展开 $\ln(1+2x)$
根据泰勒公式，$\ln(1+x)$ 在 $x=0$ 处的展开式为 $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$。因此，$\ln(1+2x)$ 在 $x=0$ 处的展开式为 $\ln(1+2x) = 2x - \frac{(2x)^2}{2} + o(x^2) = 2x - 2x^2 + o(x^2)$。
步骤 2：代入 $\ln(1+2x)$ 的展开式
将 $\ln(1+2x) = 2x - 2x^2 + o(x^2)$ 代入 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\ln (1+2x)-2xf(x)}{{x}^{2}}=0$，得到 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2x - 2x^2 + o(x^2) - 2xf(x)}{{x}^{2}}=0$。
步骤 3：化简并求极限
化简得到 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2x - 2x^2 + o(x^2) - 2xf(x)}{{x}^{2}} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2x(1 - f(x)) - 2x^2 + o(x^2)}{{x}^{2}} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2(1 - f(x)) - 2x + o(x)}{x} = 0$。
步骤 4：求导数
由 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2(1 - f(x)) - 2x + o(x)}{x} = 0$，得到 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1 - f(x)}{x} = 1$，即 $f'(0) = -1$。
根据泰勒公式，$\ln(1+x)$ 在 $x=0$ 处的展开式为 $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$。因此，$\ln(1+2x)$ 在 $x=0$ 处的展开式为 $\ln(1+2x) = 2x - \frac{(2x)^2}{2} + o(x^2) = 2x - 2x^2 + o(x^2)$。
步骤 2：代入 $\ln(1+2x)$ 的展开式
将 $\ln(1+2x) = 2x - 2x^2 + o(x^2)$ 代入 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\ln (1+2x)-2xf(x)}{{x}^{2}}=0$，得到 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2x - 2x^2 + o(x^2) - 2xf(x)}{{x}^{2}}=0$。
步骤 3：化简并求极限
化简得到 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2x - 2x^2 + o(x^2) - 2xf(x)}{{x}^{2}} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2x(1 - f(x)) - 2x^2 + o(x^2)}{{x}^{2}} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2(1 - f(x)) - 2x + o(x)}{x} = 0$。
步骤 4：求导数
由 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2(1 - f(x)) - 2x + o(x)}{x} = 0$，得到 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1 - f(x)}{x} = 1$，即 $f'(0) = -1$。