8. (4.0分) 排列1(2n)2(2n-1)…(n-1)(n+2)n(n+1)的逆序数为____.A. n(n-1)B. (n(n-1))/(2)C. n(n+1)D. (n(n+1))/(2)

本题考查排列逆序数的计算。解题思路是根据逆序数的定义，依次分析排列中每个数前面比它大的数的个数，然后将这些个数相加，即可得到该排列的逆序数。

下面我们来详细计算排列$1(2n)2(2n - 1)\cdots(n - 1)(n + 2)n(n + 1)$的逆序数：

• 分析数字$1$：
  数字$1$前面没有比它大的数，所以$1$的逆序数为$0$。
• 分析数字$2n$：
  数字$2n$前面没有比它大的数，所以$2n$的逆序数为$0$。
• 分析数字$2$：
  数字$2$前面比它大的数有$2n$，共$1$个，所以$2$的逆序数为$1$。
• 分析数字$2n - 1$：
  数字$2n - 1$前面比它大的数有$2n$，共$1$个，所以$2n - 1$的逆序数为$1$。
• 以此类推：
  • 数字$k$（$1\leq k\leq n$）前面比它大的数有$2n,2n - 1,\cdots,n + k + 1$，共$n - k + 1$个，所以$k$的逆序数为$n - k + 1$。
  • 数字$2n - k + 1$（$1\leq k\leq n$）前面比它大的数有$2n,2n - 1,\cdots,2n - k + 2$，共$k - 1$个，所以$2n - k + 1$的逆序数为$k - 1$。
• 计算逆序数总和：
  该排列的逆序数$t$为所有数字逆序数之和，即：
  $\begin{align*}t&=0 + 0 + 1 + 1 + 2 + 2 + \cdots + (n - 1) + (n - 1)\\&=2\times(1 + 2 + \cdots + (n - 1))\end{align*}$
  根据等差数列求和公式$S_n=\frac{n(a_1 + a_n)}{2}$（其中$n$为项数，$a_1$为首项，$a_n$为末项），可得$1 + 2 + \cdots + (n - 1)=\frac{(n - 1)(1 + n - 1)}{2}=\frac{n(n - 1)}{2}$。
  所以$t = 2\times\frac{n(n - 1)}{2}=n(n - 1)$。