题目
int (2x^2)/(x^2 + 1) dx = ( )A. 2x - 2arctan x + CB. x^2 - 2arctan x + CC. 2x - 2ln (1 + x^2)+ CD. x^2 - 2ln (1 + x^2)+ C
$\int \frac{2x^2}{x^2 + 1} dx = (\quad)$
A. $2x - 2\arctan x + C$
B. $x^2 - 2\arctan x + C$
C. $2x - 2\ln (1 + x^2)+ C$
D. $x^2 - 2\ln (1 + x^2)+ C$
题目解答
答案
A. $2x - 2\arctan x + C$
解析
步骤 1：分解被积函数
将被积函数 $\frac{2x^2}{x^2 + 1}$ 分解为 $2 - \frac{2}{x^2 + 1}$，这样可以将原积分分解为两个更简单的积分。
步骤 2：计算积分
对分解后的函数进行积分，即 $\int (2 - \frac{2}{x^2 + 1}) dx$。这可以进一步分解为 $\int 2 dx - \int \frac{2}{x^2 + 1} dx$。
步骤 3：求解积分
$\int 2 dx = 2x + C_1$，其中 $C_1$ 是积分常数。$\int \frac{2}{x^2 + 1} dx = 2\arctan x + C_2$，其中 $C_2$ 是积分常数。因此，原积分的结果为 $2x - 2\arctan x + C$，其中 $C = C_1 - C_2$ 是新的积分常数。
将被积函数 $\frac{2x^2}{x^2 + 1}$ 分解为 $2 - \frac{2}{x^2 + 1}$，这样可以将原积分分解为两个更简单的积分。
步骤 2：计算积分
对分解后的函数进行积分，即 $\int (2 - \frac{2}{x^2 + 1}) dx$。这可以进一步分解为 $\int 2 dx - \int \frac{2}{x^2 + 1} dx$。
步骤 3：求解积分
$\int 2 dx = 2x + C_1$，其中 $C_1$ 是积分常数。$\int \frac{2}{x^2 + 1} dx = 2\arctan x + C_2$，其中 $C_2$ 是积分常数。因此，原积分的结果为 $2x - 2\arctan x + C$，其中 $C = C_1 - C_2$ 是新的积分常数。