题目
【2020-9】设lim_(xtoinfty)(1-(1)/(x))^x=lim_(xto0)(sqrt(1+kx)-1)/(x)，则常数k=____.
【2020-9】设$\lim_{x\to\infty}(1-\frac{1}{x})^{x}=\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+kx}-1}{x}$，则常数k=____.
题目解答
答案
计算左边极限：
\[
\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x}\right)^x = e^{-1} = \frac{1}{e}
\]
计算右边极限（使用泰勒展开）：
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + kx} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{kx}{2} + o(x)}{x} = \frac{k}{2}
\]
令两边相等：
\[
\frac{1}{e} = \frac{k}{2} \implies k = \frac{2}{e}
\]
**答案：** $\boxed{\frac{2}{e}}$
解析
考查要点：本题主要考查极限的计算，涉及自然对数的底数$e$的表达式和泰勒展开（或等价无穷小替换）的应用。
解题核心思路：
- 左边极限：利用已知的极限形式$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{a}{x}\right)^x = e^{a}$，将题目中的表达式转化为标准形式，直接得出结果。
- 右边极限：通过泰勒展开或等价无穷小替换简化表达式，求出极限值。
- 联立方程：将左右两边的极限值相等，解出常数$k$。
破题关键点：
- 识别左边极限的标准形式，快速得出结果。
- 正确展开右边的根式表达式，提取主要项。
左边极限计算
左边极限为：
$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x}\right)^x$
关键步骤：
- 将表达式改写为$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{-1}{x}\right)^x$。
- 根据标准极限公式$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{a}{x}\right)^x = e^{a}$，直接得结果：
$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x}\right)^x = e^{-1} = \frac{1}{e}$
右边极限计算
右边极限为：
$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + kx} - 1}{x}$
关键步骤：
- 泰勒展开：将$\sqrt{1 + kx}$展开到一阶：
$\sqrt{1 + kx} = 1 + \frac{kx}{2} + o(x)$ - 代入分子并化简：
$\sqrt{1 + kx} - 1 = \frac{kx}{2} + o(x)$ - 分子分母约去$x$：
$\frac{\sqrt{1 + kx} - 1}{x} = \frac{\frac{kx}{2} + o(x)}{x} = \frac{k}{2} + o(1)$ - 当$x \to 0$时，$o(1)$项趋近于$0$，因此极限为：
$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + kx} - 1}{x} = \frac{k}{2}$
联立方程求解
根据题意，左右两边相等：
$\frac{1}{e} = \frac{k}{2}$
解得：
$k = \frac{2}{e}$