题目

设A,B为两个事件,则与Acup B=B不等价的是( )(A) Asubset B;(B) overline(B)subsetoverline(A);(C) Aoverline(B)=phi;(D) overline(A)B=phi.

设A,B为两个事件,则与$A\cup B=B$不等价的是( ) (A) $A\subset B$; (B) $\overline{B}\subset\overline{A}$; (C) $A\overline{B}=\phi$; (D) $\overline{A}B=\phi$.

题目解答

答案

我们来逐项分析题目：

题目给出：设 $ A $、$ B $ 为两个事件，问与 $ A \cup B = B $ 不等价的是哪一个选项。

第一步：理解 $ A \cup B = B $ 的含义

我们知道集合的基本性质：

  • $ A \cup B $ 是 $ A $ 和 $ B $ 的并集，表示至少属于 $ A $ 或 $ B $ 的元素。
  • 如果 $ A \cup B = B $，说明并集没有比 $ B $ 更大，即 $ A $ 中的所有元素都已经在 $ B $ 中。

这等价于：
> $ A \subseteq B $

因为只有当 $ A $ 是 $ B $ 的子集时，并上 $ A $ 也不会增加新的元素，所以并集仍为 $ B $。

所以：
$A \cup B = B \quad \Longleftrightarrow \quad A \subseteq B$

我们把这个作为等价的标准。

第二步：逐个分析选项

(A) $ A \subset B $

这个选项直接就是 $ A \subseteq B $，与 $ A \cup B = B $ 等价。

> 注意：在概率论和集合论中，符号 $ \subset $ 有时表示“子集”（包含等于），有时表示“真子集”。但在此类题目中，通常 $ \subset $ 允许相等，即等同于 $ \subseteq $。因此 (A) 与题设等价。

✅ 等价

(B) $ \overline{B} \subset \overline{A} $

我们分析这个集合关系。

回忆补集的性质：
$ \overline{B} \subset \overline{A} $ 表示：如果一个元素不在 $ B $ 中，那它也不在 $ A $ 中。

换句话说：
不在 $ B $ 中的元素一定不在 $ A $ 中，
即：如果在 $ A $ 中，则必须在 $ B $ 中。

这正是 $ A \subseteq B $。

我们也可以用集合恒等式推导：

$\overline{B} \subset \overline{A} \quad \Longleftrightarrow \quad A \subset B$

（因为补集反包含：$ \overline{B} \subset \overline{A} \iff A \subset B $）

所以 (B) 与 $ A \cup B = B $ 等价。

✅ 等价

(C) $ A\overline{B} = \varnothing $

这个表达式中，$ \overline{B} $ 是 $ B $ 的补集，
$ A\overline{B} $ 表示 $ A \cap \overline{B} $，即属于 $ A $ 但不属于 $ B $ 的元素。

所以 $ A\overline{B} = \varnothing $ 表示：
没有元素属于 $ A $ 但不属于 $ B $，
即：所有 $ A $ 中的元素都在 $ B $ 中。

这正是 $ A \subseteq B $。

所以 (C) 与题设等价。

✅ 等价

(D) $ \overline{A}B = \varnothing $

这里 $ \overline{A}B $ 表示 $ \overline{A} \cap B $，即属于 $ B $ 但不属于 $ A $ 的元素。

所以 $ \overline{A} \cap B = \varnothing $ 表示：
没有元素在 $ B $ 中但不在 $ A $ 中，
即：所有 $ B $ 中的元素都在 $ A $ 中。

这表示：
$B \subseteq A$

这与 $ A \subseteq B $ 是不同的！

我们原来的条件是 $ A \cup B = B $，等价于 $ A \subseteq B $，
而 (D) 表示 $ B \subseteq A $，
两者合起来才是 $ A = B $。

所以 (D) 比原条件更强或方向相反，不等价。

举个反例验证：

设样本空间为 $ \{1,2,3\} $，
令 $ A = \{1\} $，$ B = \{1,2\} $

则：

  • $ A \cup B = \{1,2\} = B $，满足题设。
  • $ A \subseteq B $，成立。
  • 但 $ \overline{A} = \{2,3\} $，$ \overline{A} \cap B = \{2\} \neq \varnothing $
  • 所以 (D) 不成立。

这说明：题设成立时，(D) 不一定成立，不等价。

再反过来：
若 (D) 成立，即 $ \overline{A} \cap B = \varnothing $，即 $ B \subseteq A $，
但此时 $ A \cup B = A $，要等于 $ B $，必须 $ A = B $。

所以 (D) 成立不能推出 $ A \cup B = B $，除非 $ A = B $。

因此，(D) 与 $ A \cup B = B $ 不等价。

❌ 不等价

结论：

与 $ A \cup B = B $ 不等价的是：

$\boxed{\text{(D)}}$

最终答案：

$\boxed{\text{(D)}\ \overline{A}B=\varnothing}$

解析

考查要点：本题主要考查集合运算的基本性质及事件间的关系，重点在于理解集合的包含关系与并集、补集等运算之间的等价性。

解题核心思路：

  1. 明确条件等价性：题目中 $A \cup B = B$ 的本质是 $A \subseteq B$，需判断各选项是否与该条件等价。
  2. 逐项分析：通过集合运算的定义或等价变形，判断每个选项是否蕴含或等价于 $A \subseteq B$。
  3. 反例验证：对存在疑问的选项，构造反例验证其与原条件是否必然成立。

破题关键点：

  • 选项D的反向性：$\overline{A} \cap B = \varnothing$ 表示 $B \subseteq A$，与 $A \subseteq B$ 方向相反，除非 $A = B$，否则不成立。

条件分析

$A \cup B = B$ 等价于 $A \subseteq B$，即 所有属于 $A$ 的元素都属于 $B$。

选项分析

(A) $A \subset B$

  • 等价性：在集合论中，$\subset$ 通常表示子集（允许相等），因此 $A \subset B$ 等价于 $A \subseteq B$，与原条件等价。

(B) $\overline{B} \subset \overline{A}$

  • 补集性质：$\overline{B} \subset \overline{A}$ 表示“不在 $B$ 中的元素也不在 $A$ 中”，即 $A \subseteq B$。
  • 等价性：与原条件等价。

(C) $A \overline{B} = \varnothing$

  • 交集为空：$A \cap \overline{B} = \varnothing$ 表示 $A$ 中没有元素不属于 $B$，即 $A \subseteq B$。
  • 等价性：与原条件等价。

(D) $\overline{A} B = \varnothing$

  • 交集为空：$\overline{A} \cap B = \varnothing$ 表示 $B$ 中没有元素不属于 $A$，即 $B \subseteq A$。
  • 反向性：与原条件 $A \subseteq B$ 方向相反，除非 $A = B$，否则不成立。
  • 反例验证：
    设样本空间为 $\{1,2,3\}$，$A = \{1\}$，$B = \{1,2\}$，此时 $A \cup B = B$ 成立，但 $\overline{A} \cap B = \{2\} \neq \varnothing$，说明选项D不成立。