题目
25. 求过点 P_(1)(3,0,1)，P_(2)(1,2,3)，P_(3)(-1,0,0) 的平面方程.
25. 求过点 $P_{1}(3,0,1)$，$P_{2}(1,2,3)$，$P_{3}(-1,0,0)$ 的平面方程.
题目解答
答案
1. **求向量**：
$\overrightarrow{P_1P_2} = (-2, 2, 2)$，$\overrightarrow{P_1P_3} = (-4, 0, -1)$。
2. **计算叉积**：
\[
\overrightarrow{P_1P_2} \times \overrightarrow{P_1P_3} = (-2, -10, 8) \quad \text{或简化为} \quad (1, 5, -4)
\]
3. **点法式方程**：
使用点 $P_1(3,0,1)$ 和法向量 $(1,5,-4)$，得
\[
x + 5y - 4z + 1 = 0
\]
**答案**：
\[
\boxed{x + 5y - 4z + 1 = 0}
\]
解析
考查要点：本题主要考查如何利用三点确定平面方程，涉及向量叉积求法向量、点法式方程的应用。
解题核心思路：
- 确定平面法向量：通过三点构造两个平面内的向量，计算它们的叉积得到法向量。
- 建立平面方程：利用点法式方程，代入法向量和已知点坐标，整理方程。
破题关键点：
- 正确计算向量：确保向量坐标差计算无误。
- 叉积运算准确：注意行列式展开的符号和运算顺序。
- 方程化简：将方程整理为标准形式，并验证三点是否满足方程。
步骤1：求两个平面内的向量
取点 $P_1(3,0,1)$ 为公共点，构造向量：
$\overrightarrow{P_1P_2} = P_2 - P_1 = (1-3, 2-0, 3-1) = (-2, 2, 2)$
$\overrightarrow{P_1P_3} = P_3 - P_1 = (-1-3, 0-0, 0-1) = (-4, 0, -1)$
步骤2：计算向量叉积得法向量
叉积公式为：
$\overrightarrow{P_1P_2} \times \overrightarrow{P_1P_3} =
\begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\-2 & 2 & 2 \\-4 & 0 & -1\end{vmatrix}$
展开计算：
- $\mathbf{i}$ 分量：$2 \cdot (-1) - 2 \cdot 0 = -2$
- $\mathbf{j}$ 分量：$- \left[ (-2) \cdot (-1) - 2 \cdot (-4) \right] = - (2 + 8) = -10$
- $\mathbf{k}$ 分量：$(-2) \cdot 0 - 2 \cdot (-4) = 8$
因此，法向量为 $(-2, -10, 8)$，可简化为 $(1, 5, -4)$（除以 $-2$）。
步骤3：代入点法式方程
点法式方程为：
$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$
代入法向量 $(1, 5, -4)$ 和点 $P_1(3,0,1)$：
$1 \cdot (x - 3) + 5 \cdot (y - 0) + (-4) \cdot (z - 1) = 0$
展开并整理：
$x - 3 + 5y - 4z + 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x + 5y - 4z + 1 = 0$