题目

设V是曲面z=(1)/(2)(x^2+y^2+z^2)与z=x^2+y^2所围成较小部分，则V=______.A. int_(0)^2pidthetaint_(0)^rrdrint_(1-sqrt(1-r^2))^1dzB. int_(0)^2pidthetaint_(0)^1rdrint_(r^2)^sqrt(1-r^2)dzC. int_(0)^2pidthetaint_(0)^1rdrint_(1-sqrt(1-r^2))^r^2dzD. int_(0)^2pidthetaint_(0)^1rdrint_(r^2)^1-rdz

设$V$是曲面$z=\frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2)$与$z=x^2+y^2$所围成较小部分，则$V=$______.

A. $\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{r}rdr\int_{1-\sqrt{1-r^2}}^{1}dz$

B. $\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1}rdr\int_{r^2}^{\sqrt{1-r^2}}dz$

C. $\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1}rdr\int_{1-\sqrt{1-r^2}}^{r^2}dz$

D. $\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1}rdr\int_{r^2}^{1-r}dz$

题目解答

答案

C. $\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1}rdr\int_{1-\sqrt{1-r^2}}^{r^2}dz$

解析

考查要点：本题主要考查利用柱坐标系计算两曲面所围较小部分的体积，涉及曲面交线的求解及积分区域的确定。

解题核心思路：

  1. 转换为柱坐标系：利用柱坐标系简化圆对称问题，将曲面方程转化为关于$r$和$z$的表达式。
  2. 确定曲面交线：联立两曲面方程，找到交线位置，确定积分区域的边界。
  3. 建立积分表达式：根据两曲面在$r$范围内的上下关系，确定$z$的积分上下限，最终写出三重积分表达式。

破题关键点：

  • 曲面方程转换：将$z=\frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2)$转换为柱坐标形式，解出$z=1-\sqrt{1-r^2}$（取较小值）。
  • 交线分析：通过联立方程发现交线位于$r=1$，积分区域为$0 \leq r \leq 1$。
  • 积分上下限：明确$z$的下限为$1-\sqrt{1-r^2}$，上限为$r^2$，确保积分方向正确。

曲面方程转换

  1. 第一曲面：$z=\frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2)$
    在柱坐标系中，$x^2+y^2=r^2$，代入得：
    $z = \frac{1}{2}(r^2 + z^2)$
    整理为二次方程：
    $z^2 - 2z + r^2 = 0$
    解得：
    $z = 1 \pm \sqrt{1 - r^2}$
    取较小值，即$z = 1 - \sqrt{1 - r^2}$。

  2. 第二曲面：$z = x^2 + y^2$
    直接转换为柱坐标形式：
    $z = r^2$

确定积分区域

  1. 联立方程找交线：
    将$z = r^2$代入$z = 1 - \sqrt{1 - r^2}$，解得$r=1$，交线为$r=1$。
  2. 积分范围：
    • $\theta$：绕$z$轴对称，范围为$0 \leq \theta \leq 2\pi$。
    • $r$：从$0$到$1$。
    • $z$：下限为$1 - \sqrt{1 - r^2}$，上限为$r^2$。

积分表达式

体积积分表达式为：
$V = \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{1} r \, dr \int_{1 - \sqrt{1 - r^2}}^{r^2} dz$
对应选项 C。