题目
设y1(x)、y2(x)为二阶变系数齐次线性方程y”+p(x)y’+q(x)y=0的两个特解,则C1y1(x)+C2y2(x)(C1,C2为任意常数)是该方程通解的充分条件为A. y1(x)y2’(x)-y2(x)y1’(x)=0.B. y1(x)y2’(x)-y2(x)y1’(x)≠0.C. y1(x)y2’(x)+y2(x)y1’(x)=0.D. y1(x)y2’(x)+y2(x)y1’(x)≠0.
设y1(x)、y2(x)为二阶变系数齐次线性方程y”+p(x)y’+q(x)y=0的两个特解,则C1y1(x)+C2y2(x)(C1,C2为任意常数)是该方程通解的充分条件为
A. y1(x)y2’(x)-y2(x)y1’(x)=0.
B. y1(x)y2’(x)-y2(x)y1’(x)≠0.
C. y1(x)y2’(x)+y2(x)y1’(x)=0.
D. y1(x)y2’(x)+y2(x)y1’(x)≠0.
题目解答
答案
B. y1(x)y2’(x)-y2(x)y1’(x)≠0.
解析
步骤 1：理解二阶变系数齐次线性方程的通解形式
二阶变系数齐次线性方程的通解形式为 \(y(x) = C_1y_1(x) + C_2y_2(x)\)，其中 \(y_1(x)\) 和 \(y_2(x)\) 是方程的两个线性无关的特解，\(C_1\) 和 \(C_2\) 是任意常数。
步骤 2：判断两个特解是否线性无关
两个特解 \(y_1(x)\) 和 \(y_2(x)\) 线性无关的充分必要条件是它们的朗斯基行列式 \(W(y_1, y_2)(x) = y_1(x)y_2'(x) - y_2(x)y_1'(x)\) 不等于零。
步骤 3：确定通解的充分条件
根据步骤 2 的结论，\(C_1y_1(x) + C_2y_2(x)\) 是方程通解的充分条件是 \(y_1(x)y_2'(x) - y_2(x)y_1'(x) \neq 0\)。
二阶变系数齐次线性方程的通解形式为 \(y(x) = C_1y_1(x) + C_2y_2(x)\)，其中 \(y_1(x)\) 和 \(y_2(x)\) 是方程的两个线性无关的特解，\(C_1\) 和 \(C_2\) 是任意常数。
步骤 2：判断两个特解是否线性无关
两个特解 \(y_1(x)\) 和 \(y_2(x)\) 线性无关的充分必要条件是它们的朗斯基行列式 \(W(y_1, y_2)(x) = y_1(x)y_2'(x) - y_2(x)y_1'(x)\) 不等于零。
步骤 3：确定通解的充分条件
根据步骤 2 的结论，\(C_1y_1(x) + C_2y_2(x)\) 是方程通解的充分条件是 \(y_1(x)y_2'(x) - y_2(x)y_1'(x) \neq 0\)。