题目

2.(10.0分)1、计算由曲线y=x^2-2和直线y=2x+1所围成的平面图形的面积。2、判断函数f(x)=2x^3-9x^2+12x-3的单调性和极值。

2.(10.0分) 1、计算由曲线$y=x^{2}-2$和直线y=2x+1所围成的平面图形的面积。 2、判断函数$f(x)=2x^{3}-9x^{2}+12x-3$的单调性和极值。

题目解答

答案

1. **求交点**：解方程 $x^2 - 2 = 2x + 1$，得 $x = -1$ 或 $x = 3$。 2. **计算面积**： \[ A = \int_{-1}^{3} [(2x + 1) - (x^2 - 2)] \, dx = \int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x \right]_{-1}^{3} = \frac{32}{3} \] **答案**：$\boxed{\frac{32}{3}}$ 2. **求导数**： $f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x-1)(x-2)$。 **临界点**：$x = 1$（极大值），$x = 2$（极小值）。 **单调性**： - $(-\infty, 1)$ 和 $(2, +\infty)$ 上递增； - $(1, 2)$ 上递减。 **极值**： - 极大值 $f(1) = 2$； - 极小值 $f(2) = 1$。 **答案**： 1. $\boxed{\frac{32}{3}}$ 2. 单调递增：$(-\infty, 1)$ 和 $(2, +\infty)$；单调递减：$(1, 2)$；极大值：$2$（在 $x=1$ 处）；极小值：$1$（在 $x=2$ 处）

解析

1. 计算平面图形的面积

核心思路：确定曲线交点，找到积分上下限；判断上下曲线，计算积分差。
关键点：
- 求交点：联立方程解$x$值；
- 确定上下曲线：在积分区间内比较两函数值大小；
- 积分公式：面积=上限函数减下限函数的积分。

2. 判断函数的单调性和极值

核心思路：求导数，分析导数符号变化确定单调区间和极值点。
关键点：
- 求导并因式分解：找到临界点；
- 导数符号分析：划分区间判断增减性；
- 极值计算：代入临界点求函数值。

1. 计算平面图形的面积

求交点

联立方程 $y = x^2 - 2$ 和 $y = 2x + 1$：
$x^2 - 2 = 2x + 1 \implies x^2 - 2x - 3 = 0 \implies (x-3)(x+1) = 0 \implies x = -1, 3.$

确定上下曲线

在区间 $[-1, 3]$ 内，直线 $y = 2x + 1$ 在曲线 $y = x^2 - 2$ 上方。

积分计算

面积公式：
$A = \int_{-1}^{3} \left[ (2x + 1) - (x^2 - 2) \right] dx = \int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3) dx.$

计算积分：
$\int (-x^2 + 2x + 3) dx = -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x.$

代入上下限：
$\left[ -\frac{3^3}{3} + 3^2 + 3 \cdot 3 \right] - \left[ -\frac{(-1)^3}{3} + (-1)^2 + 3 \cdot (-1) \right] = \left( -9 + 9 + 9 \right) - \left( \frac{1}{3} + 1 - 3 \right) = 9 - \left( -\frac{5}{3} \right) = \frac{32}{3}.$

2. 判断函数的单调性和极值

求导数

$f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x^2 - 3x + 2) = 6(x-1)(x-2).$

求临界点

令 $f'(x) = 0$，得 $x = 1$（极大值点）和 $x = 2$（极小值点）。

分析单调性

当 $x < 1$ 或 $x > 2$ 时，$f'(x) > 0$，函数单调递增；
当 $1 < x < 2$ 时，$f'(x) < 0$，函数单调递减。

计算极值

极大值：$f(1) = 2(1)^3 - 9(1)^2 + 12(1) - 3 = 2$；
极小值：$f(2) = 2(2)^3 - 9(2)^2 + 12(2) - 3 = 1$。