题目
求方程 4y'' + 4y' + y = 0, y|_(x=0) = 2, y'|_(x=0) = 0 的特解.
求方程 $4y'' + 4y' + y = 0, y|_{x=0} = 2, y'|_{x=0} = 0$ 的特解.
题目解答
答案
我们来求解二阶线性齐次微分方程的初值问题：
$$
4y'' + 4y' + y = 0,\quad y(0) = 2,\quad y'(0) = 0
$$
---
### 第一步：写出特征方程
这是一个常系数线性齐次微分方程。我们先写出它的特征方程：
$$
4r^2 + 4r + 1 = 0
$$
---
### 第二步：求解特征方程
我们用求根公式：
$$
r = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 16}}{8} = \frac{-4 \pm 0}{8} = -\frac{1}{2}
$$
所以，特征方程有**重根**：$ r = -\frac{1}{2} $
---
### 第三步：写出通解
当特征方程有重根 $ r $ 时，通解为：
$$
y(x) = (C_1 + C_2 x) e^{rx}
$$
代入 $ r = -\frac{1}{2} $，得到：
$$
y(x) = (C_1 + C_2 x) e^{-x/2}
$$
---
### 第四步：求导数 $ y'(x) $
我们对通解求导：
$$
y'(x) = \frac{d}{dx} \left[ (C_1 + C_2 x) e^{-x/2} \right]
$$
使用乘积法则：
$$
y'(x) = C_2 e^{-x/2} + (C_1 + C_2 x) \cdot \left(-\frac{1}{2} e^{-x/2} \right)
$$
$$
= \left( C_2 - \frac{1}{2}(C_1 + C_2 x) \right) e^{-x/2}
$$
---
### 第五步：代入初始条件
我们有：
- $ y(0) = 2 $
- $ y'(0) = 0 $
代入 $ x = 0 $：
1. $ y(0) = (C_1 + C_2 \cdot 0) e^{0} = C_1 = 2 $
2. $ y'(0) = \left( C_2 - \frac{1}{2}(C_1 + C_2 \cdot 0) \right) e^{0} = C_2 - \frac{1}{2} C_1 = 0 $
代入 $ C_1 = 2 $：
$$
C_2 - \frac{1}{2} \cdot 2 = 0 \Rightarrow C_2 - 1 = 0 \Rightarrow C_2 = 1
$$
---
### 第六步：写出特解
将 $ C_1 = 2, C_2 = 1 $ 代入通解：
$$
y(x) = (2 + x) e^{-x/2}
$$
---
### ✅ 最终答案：
$$
\boxed{y(x) = (2 + x) e^{-x/2}}
$$
解析
考查要点：本题主要考查二阶常系数齐次微分方程的解法，特别是重根情况下的通解形式及利用初始条件确定特解的能力。
解题核心思路：
- 写出特征方程：将微分方程转化为代数方程，求解特征根。
- 判断根的情况：根据判别式确定根的性质（重根、实根或复根）。
- 构造通解：根据特征根的形式写出通解。
- 代入初始条件：通过初始条件解出通解中的待定常数，得到特解。
破题关键点：
- 特征方程的正确求解：注意系数和判别式的计算。
- 重根时通解的形式：当特征方程有重根$r$时，通解为$(C_1 + C_2 x)e^{rx}$。
- 导数的正确计算：在代入初始条件时，需对通解求导并代入$x=0$。
第一步：写出特征方程
微分方程为$4y'' + 4y' + y = 0$，对应的特征方程为：
$4r^2 + 4r + 1 = 0$
第二步：求解特征方程
使用求根公式：
$r = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 \pm 0}{8} = -\frac{1}{2}$
特征方程有重根$r = -\frac{1}{2}$。
第三步：写出通解
重根情况下，通解形式为：
$y(x) = (C_1 + C_2 x) e^{-x/2}$
第四步：求导数$y'(x)$
对通解求导：
$y'(x) = C_2 e^{-x/2} + (C_1 + C_2 x) \cdot \left(-\frac{1}{2} e^{-x/2}\right) = \left( C_2 - \frac{1}{2}(C_1 + C_2 x) \right) e^{-x/2}$
第五步：代入初始条件
- 代入$y(0) = 2$：
$y(0) = (C_1 + C_2 \cdot 0) e^{0} = C_1 = 2$ - 代入$y'(0) = 0$：
$y'(0) = \left( C_2 - \frac{1}{2} C_1 \right) e^{0} = C_2 - \frac{1}{2} \cdot 2 = 0 \implies C_2 = 1$
第六步：写出特解
将$C_1 = 2$和$C_2 = 1$代入通解：
$y(x) = (2 + x) e^{-x/2}$