10.lim_(xtoinfty)(1+(1)/(xy))^(x^(2)/(x+y))(aneq0)=_

考查要点：本题主要考查极限的运算技巧，特别是利用重要极限公式$\lim_{z \to \infty} \left(1 + \frac{1}{z}\right)^z = e$来处理复杂表达式。

解题核心思路：

1. 变形表达式：将原式改写为底数趋近于$e$的形式，指数部分单独处理。
2. 分离变量：通过代数变形，将指数部分简化为与$a$相关的常数。
3. 结合结果：利用极限的乘积法则，将底数的极限和指数的极限结合。

破题关键点：

• 识别重要极限形式，将底数部分构造为$\left(1 + \frac{1}{z}\right)^z$的结构。
• 正确化简指数部分，忽略低阶无穷小项，得到最终的指数值。

步骤1：变形底数部分
将原式改写为：
$\left(1 + \frac{1}{xy}\right)^{\frac{x^2}{x+y}} = \left[\left(1 + \frac{1}{xy}\right)^{xy}\right]^{\frac{x^2}{(x+y)xy}}.$
此时，底数部分$\left(1 + \frac{1}{xy}\right)^{xy}$的形式与重要极限$\lim_{z \to \infty} \left(1 + \frac{1}{z}\right)^z = e$一致。

步骤2：计算底数的极限
当$x \to \infty$时，若$y \neq 0$（即$a \neq 0$），则$xy \to \infty$，因此：
$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{xy}\right)^{xy} = e.$

步骤3：化简指数部分
指数部分为：
$\frac{x^2}{(x+y)xy} = \frac{x^2}{x y (x + y)} = \frac{x}{y(x + y)} = \frac{1}{y \left(1 + \frac{y}{x}\right)}.$
当$x \to \infty$时，$\frac{y}{x} \to 0$，因此：
$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{y \left(1 + \frac{y}{x}\right)} = \frac{1}{y}.$

步骤4：结合结果
将底数的极限和指数的极限结合，得到：
$\left[e\right]^{\frac{1}{y}} = e^{\frac{1}{y}}.$
由于题目中$a \neq 0$，且最终结果与$a$相关，因此$y$应为$a$，最终结果为：
$e^{\frac{1}{a}}.$