设f(x)可导,且 int (x)^3f'(x)dx=(x)^2cos x-4xsin x-6cos x+C 求f(x).

步骤 1：应用分部积分法
根据题目给出的积分 $\int {x}^{3}f'(x)dx={x}^{2}\cos x-4x\sin x-6\cos x+C$，我们首先需要应用分部积分法来求解 $f(x)$。分部积分法的公式为 $\int u dv = uv - \int v du$。这里，我们设 $u = x^3$，$dv = f'(x)dx$，则 $du = 3x^2dx$，$v = f(x)$。因此，原积分可以写为 $\int x^3 f'(x) dx = x^3 f(x) - \int 3x^2 f(x) dx$。

步骤 2：求解 $f(x)$
根据步骤 1 的结果，我们有 $x^3 f(x) - \int 3x^2 f(x) dx = {x}^{2}\cos x-4x\sin x-6\cos x+C$。为了求解 $f(x)$，我们需要将 $f(x)$ 从等式中分离出来。为此，我们首先对等式两边求导，得到 $3x^2 f(x) + x^3 f'(x) - 3x^2 f(x) = 2x\cos x - x^2\sin x - 4\sin x - 4x\cos x + 6\sin x$。简化后得到 $x^3 f'(x) = -2x\cos x - x^2\sin x + 2\sin x$。由于 $x^3 f'(x)$ 已知，我们可以直接求解 $f'(x)$，进而求解 $f(x)$。

步骤 3：求解 $f'(x)$ 并积分得到 $f(x)$
根据步骤 2 的结果，我们有 $f'(x) = \frac{-2x\cos x - x^2\sin x + 2\sin x}{x^3}$。为了求解 $f(x)$，我们需要对 $f'(x)$ 进行积分。注意到 $f'(x)$ 可以写为 $f'(x) = -\frac{2\cos x}{x^2} - \frac{\sin x}{x} + \frac{2\sin x}{x^3}$。因此，$f(x) = -\int \frac{2\cos x}{x^2} dx - \int \frac{\sin x}{x} dx + \int \frac{2\sin x}{x^3} dx$。通过观察，我们可以发现 $f(x) = -\frac{\sin x}{x^2} + \frac{\cos x}{x} + C$，其中 $C$ 是积分常数。